9^x-12*3^x+27=0
Чтобы решить уравнение \( 9^x - 12 \cdot 3^x + 27 = 0 \), начнем с преобразования выражений.
Заметим, что \( 9^x \) можно записать как \( (3^2)^x = (3^x)^2 \). Таким образом, давайте обозначим \( y = 3^x \). Это приводит к следующему уравнению:
\[ y^2 - 12y + 27 = 0 \]
Теперь это квадратное уравнение, которое мы можем решить с помощью формулы:
\[ y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
где \( a = 1 \), \( b = -12 \), и \( c = 27 \). Подставив значения, получаем:
\[ y = \frac{12 \pm \sqrt{(-12)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 27}}{2 \cdot 1} \]
Вычислим дискриминант:
\[ (-12)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 27 = 144 - 108 = 36 \]
Теперь подставим это обратно в формулу:
\[ y = \frac{12 \pm \sqrt{36}}{2} = \frac{12 \pm 6}{2} \]
Таким образом, у нас есть два возможных значения для \( y \):
- \( y = \frac{12 + 6}{2} = \frac{18}{2} = 9 \)
- \( y = \frac{12 - 6}{2} = \frac{6}{2} = 3 \)
Теперь вернемся к замененной переменной \( y \):
- Если \( y = 9 \), то \( 3^x = 9 \), что означает \( 3^x = 3^2 \). Значит, \( x = 2 \).
- Если \( y = 3 \), то \( 3^x = 3 \), что означает \( 3^x = 3^1 \). Значит, \( x = 1 \).
Итак, у уравнения \( 9^x - 12 \cdot 3^x + 27 = 0 \) есть два решения:
\[ x = 2 \quad \text{и} \quad x = 1 \]
Если есть вопросы о других темах, буду рад помочь!
