Даны точки А(6; - 3; 2); В(6; -1; 4); C(6; -3;-2) и D(2; 7;-3). Вычислите косинус угла между прямыми АВ и CD.

Чтобы вычислить косинус угла между прямыми AB и CD, сначала найдем векторы этих прямых.

1. Найдем вектор AB: Вектор AB можно найти, вычитая координаты точки A из координат точки B: \[ \vec{AB} = B - A = (6 - 6; -1 - (-3); 4 - 2) = (0; 2; 2). \]

2. Найдем вектор CD: Аналогично, вектор CD находим следующим образом: \[ \vec{CD} = D - C = (2 - 6; 7 - (-3); -3 - (-2)) = (-4; 10; -1). \]

3. Вычислим скалярное произведение векторов AB и CD: Скалярное произведение определяется как: \[ \vec{AB} \cdot \vec{CD} = 0 \cdot (-4) + 2 \cdot 10 + 2 \cdot (-1) = 0 + 20 - 2 = 18. \]

4. Найдём длины векторов AB и CD: Длина вектора AB: \[ |\vec{AB}| = \sqrt{0^2 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{0 + 4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}. \] Длина вектора CD: \[ |\vec{CD}| = \sqrt{(-4)^2 + 10^2 + (-1)^2} = \sqrt{16 + 100 + 1} = \sqrt{117}. \]

5. Рассчитаем косинус угла между векторами: Косинус угла θ между векторами можно найти по формуле: \[ \cos(\theta) = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{CD}}{|\vec{AB}| \cdot |\vec{CD}|}. \] Подставляем найденные значения: \[ \cos(\theta) = \frac{18}{(2\sqrt{2}) \cdot \sqrt{117}} = \frac{18}{2\sqrt{234}} = \frac{9}{\sqrt{234}}. \]

6. Упрощаем окончательно: Сократим корень: \[ \sqrt{234} = \sqrt{9 \cdot 26} = 3\sqrt{26}. \] Поэтому конечный результат: \[ \cos(\theta) = \frac{9}{3\sqrt{26}} = \frac{3}{\sqrt{26}}. \]

Таким образом, косинус угла между прямыми AB и CD равен \(\frac{3}{\sqrt{26}}\).