решить логарифмическое уравнение log3(x-4)+log3(2x-1)=2
Чтобы решить логарифмическое уравнение \( \log_3(x-4) + \log_3(2x-1) = 2 \), используем свойства логарифмов.
- Применим свойство логарифмов: \( \log_a(b) + \log_a(c) = \log_a(b \cdot c) \).
Поэтому мы можем переписать уравнение следующим образом:
\[ \log_3((x-4)(2x-1)) = 2 \]
- Теперь уберем логарифм, переводя уравнение в экспоненциальную форму. Мы знаем, что если \( \log_a(b) = c \), то \( b = a^c \). Следовательно:
\[ (x-4)(2x-1) = 3^2 \]
\[ (x-4)(2x-1) = 9 \]
- Раскроем скобки:
\[ x \cdot 2x - x - 8 + 4 = 9 \]
\[ 2x^2 - x - 8 + 4 = 9 \]
\[ 2x^2 - x - 5 = 0 \]
- Теперь решим квадратное уравнение \( 2x^2 - x - 5 = 0 \) с помощью формулы корней квадратного уравнения:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}, \]
где \( a = 2, b = -1, c = -5 \).
- Сначала найдём дискриминант \( D \):
\[ D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 1 + 40 = 41. \]
- Подставим в формулу:
\[ x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{41}}{2 \cdot 2} = \frac{1 \pm \sqrt{41}}{4}. \]
- Теперь найдем два возможных значения:
\[ x_1 = \frac{1 + \sqrt{41}}{4}, \quad x_2 = \frac{1 - \sqrt{41}}{4}. \]
- Для того чтобы эти значения подходили в исходное уравнение, необходимо проверить, что подходят условия, при которых логарифмы определены:
- \( x - 4 > 0 \) означает \( x > 4 \).
- \( 2x - 1 > 0 \) означает \( x > \frac{1}{2} \).
Теперь рассмотрим \( x_1 \):
\[ x_1 \approx \frac{1 + 6.4}{4} \approx \frac{7.4}{4} \approx 1.85, \quad \text{(не подходит)} \]
А для \( x_2 \):
\[ x_2 \approx \frac{1 - 6.4}{4} \approx \frac{-5.4}{4} \approx -1.35, \quad \text{(не подходит)} \]
Также ни один из корней не удовлетворяет условиям \( x - 4 > 0 \) и \( 2x - 1 > 0 \). Поэтому уравнение не имеет решений в действительных числах.
