В коробке лежат 5 красных и 6 синих шаров. Случайным образом из коробки вынимают сразу 4 шара и записывают количество вынутых красных шаров. Найдите математическое ожидание рассматриваемой случайной величины.

Question 1

Задача Задача №2036992

А

Аноним

29 октября 2024 08:40 · публичный вопрос

А

Аноним 29 октября 2024 08:40

В коробке лежат 5 красных и 6 синих шаров. Случайным образом из коробки вынимают сразу 4 шара и записывают количество вынутых красных шаров. Найдите математическое ожидание рассматриваемой случайной величины.

Answer

Для решения задачи о математическом ожидании количества вынутых красных шаров, давайте обозначим случайную величину \( X \) — количество красных шаров, которые будут вынуты при случайной выборке 4 шаров из коробки с 5 красными и 6 синими шарами.

Сначала определим общее количество шаров в коробке: \[ 5 \text{ (красных)} + 6 \text{ (синих)} = 11 \text{ (всего)} \]

Теперь найдем возможные значения случайной величины \( X \): она может принимать значения от 0 до 4, так как максимум 4 шара могут быть вытянуты.

Для нахождения математического ожидания \( E(X) \) используем формулу: \[ E(X) = \sum_{k=0}^{n} k \cdot P(X = k) \] где \( P(X = k) \) — вероятность того, что из 4 вытянутых шаров ровно \( k \) будут красными.

Для вычисления вероятности \( P(X = k) \) воспользуемся формулой: \[ P(X = k) = \frac{\binom{5}{k} \cdot \binom{6}{4-k}}{\binom{11}{4}} \] где \( \binom{n}{m} \) — это число сочетаний (количество способов выбрать \( m \) элементов из \( n \)).

Теперь посчитаем \( P(X = k) \) для \( k = 0, 1, 2, 3, 4 \):

Для \( k = 0 \): \[ P(X = 0) = \frac{\binom{5}{0} \cdot \binom{6}{4}}{\binom{11}{4}} = \frac{1 \cdot 15}{330} = \frac{15}{330} = \frac{1}{22} \]
Для \( k = 1 \): \[ P(X = 1) = \frac{\binom{5}{1} \cdot \binom{6}{3}}{\binom{11}{4}} = \frac{5 \cdot 20}{330} = \frac{100}{330} = \frac{10}{33} \]
Для \( k = 2 \): \[ P(X = 2) = \frac{\binom{5}{2} \cdot \binom{6}{2}}{\binom{11}{4}} = \frac{10 \cdot 15}{330} = \frac{150}{330} = \frac{15}{33} = \frac{5}{11} \]
Для \( k = 3 \): \[ P(X = 3) = \frac{\binom{5}{3} \cdot \binom{6}{1}}{\binom{11}{4}} = \frac{10 \cdot 6}{330} = \frac{60}{330} = \frac{6}{33} = \frac{2}{11} \]
Для \( k = 4 \): \[ P(X = 4) = \frac{\binom{5}{4} \cdot \binom{6}{0}}{\binom{11}{4}} = \frac{5 \cdot 1}{330} = \frac{5}{330} = \frac{1}{66} \]

Теперь мы можем вычислить математическое ожидание: \[ E(X) = 0 \cdot P(X = 0) + 1 \cdot P(X = 1) + 2 \cdot P(X = 2) + 3 \cdot P(X = 3) + 4 \cdot P(X = 4) \] \[ E(X) = 0 \cdot \frac{1}{22} + 1 \cdot \frac{10}{33} + 2 \cdot \frac{5}{11} + 3 \cdot \frac{2}{11} + 4 \cdot \frac{1}{66} \] \[ E(X) = 0 + \frac{10}{33} + \frac{10}{11} + \frac{6}{11} + \frac{4}{66} \]

Приведем все дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель равен 66: \[ E(X) = \frac{20}{66} + \frac{60}{66} + \frac{36}{66} + \frac{4}{66} = \frac{120}{66} = \frac{20}{11} \approx 1.818 \]

Таким образом, математическое ожидание числа красных шаров, вынутых из коробки, равно \(\frac{20}{11}\).

Question 2

В коробке лежат 5 красных и 6 синих шаров. Случайным образом из коробки вынимают сразу 4 шара и записывают количество вынутых красных шаров. Найдите математическое ожидание рассматриваемой случайной величины.

Answer

Для решения задачи о математическом ожидании количества вынутых красных шаров, давайте обозначим случайную величину \( X \) — количество красных шаров, которые будут вынуты при случайной выборке 4 шаров из коробки с 5 красными и 6 синими шарами. Сначала определим общее количество шаров в коробке: \[ 5 \text{ (красных)} + 6 \text{ (синих)} = 11 \text{ (всего)} \] Теперь найдем возможные значения случайной величины \( X \): она может принимать значения от 0 до 4, так как максимум 4 шара могут быть вытянуты. Для нахождения математического ожидания \( E(X) \) используем формулу: \[ E(X) = \sum_{k=0}^{n} k \cdot P(X = k) \] где \( P(X = k) \) — вероятность того, что из 4 вытянутых шаров ровно \( k \) будут красными. Для вычисления вероятности \( P(X = k) \) воспользуемся формулой: \[ P(X = k) = \frac{\binom{5}{k} \cdot \binom{6}{4-k}}{\binom{11}{4}} \] где \( \binom{n}{m} \) — это число сочетаний (количество способов выбрать \( m \) элементов из \( n \)). Теперь посчитаем \( P(X = k) \) для \( k = 0, 1, 2, 3, 4 \): 1. Для \( k = 0 \): \[ P(X = 0) = \frac{\binom{5}{0} \cdot \binom{6}{4}}{\binom{11}{4}} = \frac{1 \cdot 15}{330} = \frac{15}{330} = \frac{1}{22} \] 2. Для \( k = 1 \): \[ P(X = 1) = \frac{\binom{5}{1} \cdot \binom{6}{3}}{\binom{11}{4}} = \frac{5 \cdot 20}{330} = \frac{100}{330} = \frac{10}{33} \] 3. Для \( k = 2 \): \[ P(X = 2) = \frac{\binom{5}{2} \cdot \binom{6}{2}}{\binom{11}{4}} = \frac{10 \cdot 15}{330} = \frac{150}{330} = \frac{15}{33} = \frac{5}{11} \] 4. Для \( k = 3 \): \[ P(X = 3) = \frac{\binom{5}{3} \cdot \binom{6}{1}}{\binom{11}{4}} = \frac{10 \cdot 6}{330} = \frac{60}{330} = \frac{6}{33} = \frac{2}{11} \] 5. Для \( k = 4 \): \[ P(X = 4) = \frac{\binom{5}{4} \cdot \binom{6}{0}}{\binom{11}{4}} = \frac{5 \cdot 1}{330} = \frac{5}{330} = \frac{1}{66} \] Теперь мы можем вычислить математическое ожидание: \[ E(X) = 0 \cdot P(X = 0) + 1 \cdot P(X = 1) + 2 \cdot P(X = 2) + 3 \cdot P(X = 3) + 4 \cdot P(X = 4) \] \[ E(X) = 0 \cdot \frac{1}{22} + 1 \cdot \frac{10}{33} + 2 \cdot \frac{5}{11} + 3 \cdot \frac{2}{11} + 4 \cdot \frac{1}{66} \] \[ E(X) = 0 + \frac{10}{33} + \frac{10}{11} + \frac{6}{11} + \frac{4}{66} \] Приведем все дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель равен 66: \[ E(X) = \frac{20}{66} + \frac{60}{66} + \frac{36}{66} + \frac{4}{66} = \frac{120}{66} = \frac{20}{11} \approx 1.818 \] Таким образом, математическое ожидание числа красных шаров, вынутых из коробки, равно \(\frac{20}{11}\).