В единичном кубе ABCDA1B1C1D1: диагонали грани ABCD пересекаются в точке N, а точка М лежит на ребре A1D1, причем А1М: MD1 = 3 : 1 ; диагонали грани ВСС1В1 пересекаются в точке R. а точка S лежит посередине ребра АА1. Найдите координаты середины отрезка DN Найдите координаты середины отрезка A1R Напишите координаты вектора +6DN-3A1R

Давайте начнём с нахождения координат нужных точек в единичном кубе ABCDA1B1C1D1.

1. Присвоим координаты точкам куба:

   • A(0, 0, 0)
   • B(1, 0, 0)
   • C(1, 1, 0)
   • D(0, 1, 0)
   • A1(0, 0, 1)
   • B1(1, 0, 1)
   • C1(1, 1, 1)
   • D1(0, 1, 1)

2. Нахождение координат точки N (пересечение диагоналей грани ABCD): Диагонали грани ABCD – это отрезки AC и BD.

   • Координаты точки A: A(0, 0, 0)
   • Координаты точки C: C(1, 1, 0)
   • Координаты точки B: B(1, 0, 0)
   • Координаты точки D: D(0, 1, 0)

   Точки пересечения можно найти как средние координаты: \[ N = \left(\frac{x_A+x_C}{2}, \frac{y_A+y_C}{2}, \frac{z_A+z_C}{2}\right) = \left(\frac{0+1}{2}, \frac{0+1}{2}, \frac{0+0}{2}\right) = \left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 0\right) \]

3. Нахождение координат точки M (точка, лежащая на ребре A1D1 с учетом отношения A1M:MD1 = 3:1):

   • Можем выделить длины отрезков A1M и MD1. Общая длина 4, поэтому: \[ \overline{A1M} = \frac{3}{4}, \quad \overline{MD1} = \frac{1}{4} \] Итак, \[ M = A1 + \frac{3}{4}(D1 - A1) = (0, 0, 1) + \frac{3}{4}(0, 1, 1 - 0) = (0, 0, 1) + (0, \frac{3}{4}, \frac{3}{4}) = \left(0, \frac{3}{4}, 1\right) \]

4. Нахождение координат точки R (пересечение диагоналей грани BCC1B1):

   • Диагонали – это BC и A1C1.
   • BC: B(1, 0, 0) и C(1, 1, 0),
   • A1C1: A1(0, 0, 1) и C1(1, 1, 1) \[ R = \left(\frac{x_B+x_C}{2}, \frac{y_B+y_C}{2}, \frac{z_B+z_C}{2}\right) = \left(\frac{1+1}{2}, \frac{0+1}{2}, \frac{0+0}{2}\right) = \left(1, \frac{1}{2}, 0\right) \]

5. Нахождение координат точки S (середина отрезка AA1): \[ S = \left(\frac{x_A + x_{A1}}{2}, \frac{y_A + y_{A1}}{2}, \frac{z_A + z_{A1}}{2}\right) = \left(\frac{0 + 0}{2}, \frac{0 + 0}{2}, \frac{0 + 1}{2}\right) = (0, 0, \frac{1}{2}) \]

6. Теперь найдем середину отрезка DN: \[ D(0, 1, 0) \quad \text{и} \quad N\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 0\right) \] \[ DN = \left(\frac{0+\frac{1}{2}}{2}, \frac{1+\frac{1}{2}}{2}, \frac{0+0}{2}\right) = \left(\frac{1}{4}, \frac{3}{4}, 0\right) \]

7. Теперь найдем середину отрезка A1R: \[ A1(0, 0, 1) \quad \text{и} \quad R\left(1, \frac{1}{2}, 0\right) \] \[ A1R = \left(\frac{0+1}{2}, \frac{0+\frac{1}{2}}{2}, \frac{1+0}{2}\right) = \left(\frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{2}\right) \]

8. Последний шаг – вектор \( +6DN - 3A1R \): \[ 6DN = 6 \left(\frac{1}{4}, \frac{3}{4}, 0\right) = \left(\frac{6}{4}, \frac{18}{4}, 0\right) = \left(\frac{3}{2}, \frac{9}{2}, 0\right) \] \[ -3A1R = -3 \left(\frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{2}\right) = \left(-\frac{3}{2}, -\frac{3}{4}, -\frac{3}{2}\right) \] Теперь сложим: \[ (6DN - 3A1R) = \left(\frac{3}{2} - \frac{3}{2}, \frac{9}{2} - \frac{3}{4}, 0 - \frac{3}{2}\right) \]

   Для y-координаты: \[ \frac{9}{2} - \frac{3}{4} = \frac{36}{8} - \frac{6}{8} = \frac{30}{8} = \frac{15}{4} \]

   Итоговые координаты: \[ \left(0, \frac{15}{4}, -\frac{3}{2}\right) \]

Таким образом, ответ будет:

• Координаты середины отрезка DN: \( \left(\frac{1}{4}, \frac{3}{4}, 0\right) \)
• Координаты середины отрезка A1R: \( \left(\frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{2}\right) \)
• Координаты вектора \( +6DN - 3A1R \): \( \left(0, \frac{15}{4}, -\frac{3}{2}\right) \)