Решите неравенство 3х+х²<=0 используя график
Для решения неравенства \(3x + x^2 \leq 0\) с использованием графика, сначала нужно преобразовать его в более удобный вид. Мы можем переписать неравенство так:
\[ x^2 + 3x \leq 0. \]
Теперь нам нужно найти корни уравнения \(x^2 + 3x = 0\). Для этого мы можем вынести общий множитель:
\[ x(x + 3) = 0. \]
Из этого уравнения мы получаем два корня:
- \(x = 0\)
- \(x + 3 = 0 \Rightarrow x = -3\)
Теперь у нас есть два корня: \(x = -3\) и \(x = 0\). Эти корни разделяют числовую ось на три интервалы:
- \( (-\infty, -3) \)
- \( (-3, 0) \)
- \( (0, +\infty) \)
Далее нужно определить знак выражения \(x^2 + 3x\) на каждом из этих интервалов. Для этого можно взять тестовые точки из каждого интервала:
Для интервала \((- \infty, -3)\), например, \(x = -4\): \[ (-4)^2 + 3(-4) = 16 - 12 = 4 \quad (\text{положительно}) \]
Для интервала \((-3, 0)\), например, \(x = -1\): \[ (-1)^2 + 3(-1) = 1 - 3 = -2 \quad (\text{отрицательно}) \]
Для интервала \((0, +\infty)\), например, \(x = 1\): \[ (1)^2 + 3(1) = 1 + 3 = 4 \quad (\text{положительно}) \]
Теперь у нас есть информация о знаках на каждом интервале:
- На интервале \( (-\infty, -3) \) — положительно.
- На интервале \( (-3, 0) \) — отрицательно.
- На интервале \( (0, +\infty) \) — положительно.
Поскольку нам нужно решить неравенство \(x^2 + 3x \leq 0\), это означает, что мы ищем те участки, где выражение меньше или равно нулю. Это происходит на интервале \([-3, 0]\), включая сами корни, так как в этих точках выражение равно нулю.
Таким образом, решение неравенства \(3x + x^2 \leq 0\) — это:
\[ x \in [-3, 0]. \]
На графике эта область будет выглядеть как закрашенный отрезок от \(-3\) до \(0\) на оси \(x\).
