Побудуйте графік рівняння та знайдіть площу фігури, обмеженої лініями (х – 1) 2 + (у – 1) 2 = 1; у = 1; х = 0

Чтобы построить график уравнения \((x - 1)^2 + (y - 1)^2 = 1\), нам нужно понять, что это уравнение описывает окружность. Центр окружности находится в точке (1, 1), а радиус равен 1.

Теперь давайте вспомним, что окружность с центром в точке (h, k) и радиусом r описывается уравнением \((x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2\). В нашем случае \(h = 1\), \(k = 1\) и \(r = 1\).

1. Строим график:

   • Окрестности точки (1, 1) на координатной плоскости:
     • Положение центра: точка (1, 1).
     • Радиус равен 1: окружность пройдет через точки (0, 1), (2, 1), (1, 0) и (1, 2).

2. Накладываем дополнительные линии:

   • Линия \(y = 1\) — это горизонтальная линия, проходящая через точку (0, 1) и продолжающаяся в обе стороны.
   • Линия \(x = 0\) — это вертикальная линия, проходящая через точку (0, 1) по оси y.

Теперь у нас есть фигура, окаймленная этими тремя линиями: половина окружности от точки (0, 1) до (1, 2), горизонтальная линия и вертикальная линия.

3. Находим площадь фигуры:
   • Площадь фигуры состоит из сектора окружности и прямоугольника.
   • Площадь сектора окружности, ограниченного углом 90 градусов: \[ P_{\text{сектор}} = \frac{1}{4} \pi r^2 = \frac{1}{4} \pi (1^2) = \frac{\pi}{4} \]
   • Площадь прямоугольника, расположенного между линиями \(x = 0\) и \(y = 1\), от (0, 1) до (0, 2): \[ P_{\text{прямоугольник}} = ширина \times высота = 1 \times 1 = 1 \]

Таким образом, общая площадь фигуры равна: \[ P_{\text{общая}} = P_{\text{сектор}} + P_{\text{прямоугольник}} = \frac{\pi}{4} + 1 \]

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной указанными линиями, составляет \(\frac{\pi}{4} + 1\).