В единичном кубе ABCDA1B1C1D1: диагонали грани ABCD пересекаются в точке №. а точка М лежит на ребре A1D1, причем А1M: MD1=3:1: диагонали грани ВСС1В1 пересекаются в точке В. а…

Чтобы решить задачу, начнем с определения координат точек куба и необходимых элементов в пространстве.

Пусть единичный куб расположен в трехмерной декартовой системе координат следующим образом:

• \( A(0, 0, 0) \)
• \( B(1, 0, 0) \)
• \( C(1, 1, 0) \)
• \( D(0, 1, 0) \)
• \( A_1(0, 0, 1) \)
• \( B_1(1, 0, 1) \)
• \( C_1(1, 1, 1) \)
• \( D_1(0, 1, 1) \)

Поиск точки M: Точка \( M \) делит отрезок \( A_1D_1 \) в отношении 3:1. Точки \( A_1(0, 0, 1) \) и \( D_1(0, 1, 1) \) имеют следующие координаты.

Координаты точки \( M \): \[ M\left(0, \frac{3 \cdot 1 + 1 \cdot 0}{3 + 1}, 1\right) = M(0, 0.75, 1) \]

Поиск точки R: Точка \( R \) лежит на середине ребра \( AA_1 \), которое соединяет точки \( A(0, 0, 0) \) и \( A_1(0, 0, 1) \). Поэтому координаты точки \( R \): \[ R(0, 0, \frac{0 + 1}{2}) = R(0, 0, 0.5) \]

Поиск угла между прямыми \( CB_1 \) и \( MR \): Теперь определим векторные направления.

• Вектор \( \overrightarrow{CB_1} \): \[ C(1, 1, 0) \quad \text{и} \quad B_1(1, 0, 1) \] \[ \overrightarrow{CB_1} = B_1 - C = (1 - 1, 0 - 1, 1 - 0) = (0, -1, 1) \]

• Вектор \( \overrightarrow{MR} \): \[ M(0, 0.75, 1) \quad \text{и} \quad R(0, 0, 0.5) \] \[ \overrightarrow{MR} = R - M = (0 - 0, 0 - 0.75, 0.5 - 1) = (0, -0.75, -0.5) \]

Угол между векторами: Угол \( \theta \) между двумя векторами можно найти с помощью формулы: \[ \cos(\theta) = \frac{\overrightarrow{CB_1} \cdot \overrightarrow{MR}}{\|\overrightarrow{CB_1}\| \|\overrightarrow{MR}\|} \]

Сначала вычислим скалярное произведение: \[ \overrightarrow{CB_1} \cdot \overrightarrow{MR} = (0) \cdot (0) + (-1) \cdot (-0.75) + (1) \cdot (-0.5) = 0 + 0.75 - 0.5 = 0.25 \]

Теперь найдем длины векторов: \[ \|\overrightarrow{CB_1}\| = \sqrt{(0)^2 + (-1)^2 + (1)^2} = \sqrt{0 + 1 + 1} = \sqrt{2} \] \[ \|\overrightarrow{MR}\| = \sqrt{(0)^2 + (-0.75)^2 + (-0.5)^2} = \sqrt{0 + 0.5625 + 0.25} = \sqrt{0.8125} \]

Теперь подставим в формулу: \[ \cos(\theta) = \frac{0.25}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{0.8125}} = \frac{0.25}{\sqrt{1.625}} = \frac{0.25}{1.274} \approx 0.196 \]

Таким образом, нашли косинус угла между прямыми \( CB_1 \) и \( MR \): \[ \cos(\theta) \approx 0.196 \]

Это и есть ответ на задачу.