Реши тождество
Привет! Давай разберёмся с этим тождеством шаг за шагом.
У нас есть выражение:
\[ \frac{\left(\frac{a}{a^2 - 25} - \frac{a - 8}{a^2 - 10a + 25}\right)}{\frac{a - 20}{(a - 5)^2}} = \frac{a}{a + 5} \]
Разложим знаменатели на множители:
- \(a^2 - 25\) можно разложить как \((a - 5)(a + 5)\).
- \(a^2 - 10a + 25\) является полным квадратом: \((a - 5)^2\).
Приведём дроби к общему знаменателю: Общий знаменатель для \(\frac{a}{(a - 5)(a + 5)}\) и \(\frac{a - 8}{(a - 5)^2}\) будет \((a - 5)^2(a + 5)\).
- Первую дробь умножим числитель и знаменатель на \((a - 5)\): \(\frac{a(a - 5)}{(a - 5)^2(a + 5)}\).
- Вторую дробь умножим числитель и знаменатель на \((a + 5)\): \(\frac{(a - 8)(a + 5)}{(a - 5)^2(a + 5)}\).
Вычтем дроби: \[ \frac{a(a - 5) - (a - 8)(a + 5)}{(a - 5)^2(a + 5)} \]
Раскроем скобки в числителе: \[ a(a - 5) = a^2 - 5a \] \[ (a - 8)(a + 5) = a^2 + 5a - 8a - 40 = a^2 - 3a - 40 \]
Вычитая, получаем: \[ (a^2 - 5a) - (a^2 - 3a - 40) = -2a + 40 \]
Упростим выражение: Теперь наше выражение: \[ \frac{-2a + 40}{(a - 5)^2(a + 5)} \]
Разделим на \(\frac{a - 20}{(a - 5)^2}\): Чтобы поделить, умножаем на обратную дробь: \[ \frac{-2a + 40}{(a - 5)^2(a + 5)} \times \frac{(a - 5)^2}{a - 20} \]
Сократим \((a - 5)^2\): \[ \frac{-2a + 40}{(a + 5)(a - 20)} \]
Убедимся, что выражение равно \(\frac{a}{a + 5}\): Упрощаем числитель: \(-2a + 40 = -2(a - 20)\).
После сокращения получаем: \[ \frac{-2(a - 20)}{(a + 5)(a - 20)} = \frac{-2}{a + 5} \]
В итоге нам не хватает знака и кое-каких вычислений, что показывает, что в условии либо недочет, либо ошибка на стадии переданного выражения. В оригинале, скорее всего, есть опечатка или неверное задание. Попробуй перепроверить условие.
