Докажи тождество: (a/a^2-25-a-8/a^2-10a+25):a-20/(a-5)^2=-a/a+5
Для доказательства тождества
\[ \frac{\frac{a}{a^2 - 25} - \frac{a - 8}{a^2 - 10a + 25}}{a - 20} = -\frac{a}{a + 5} \]
начнем с упрощения левой части.
Сначала упростим каждую дробь в числителе.
- Разложим знаменатели:
\[ a^2 - 25 = (a - 5)(a + 5), \] \[ a^2 - 10a + 25 = (a - 5)^2. \]
- Теперь подставим эти разложения в числитель:
\[ \frac{a}{(a - 5)(a + 5)} - \frac{a - 8}{(a - 5)^2}. \]
- Найдем общий знаменатель:
Общий знаменатель - это \((a - 5)^2(a + 5)\). Запишем дроби с общим знаменателем:
\[ \frac{a(a - 5)}{(a - 5)^2(a + 5)} - \frac{(a - 8)(a + 5)}{(a - 5)^2(a + 5)}. \]
- Теперь можно объединить дроби:
\[ \frac{a(a - 5) - (a - 8)(a + 5)}{(a - 5)^2(a + 5)}. \]
Упростим числитель:
\[ a(a - 5) - (a^2 + 5a - 8a - 40) = a^2 - 5a - (a^2 - 3a + 40) = a^2 - 5a - a^2 + 3a + 40 = -2a + 40. \]
Таким образом, получаем:
\[ \frac{-2a + 40}{(a - 5)^2(a + 5)}. \]
- Подставим это в выражение:
\[ \frac{-2a + 40}{(a - 5)^2(a + 5)(a - 20)}. \]
Левая часть теперь выглядит так:
\[ \frac{-2(a - 20)}{(a - 5)^2(a + 5)(a - 20)}. \]
Теперь сократим на \(a - 20\):
\[ \frac{-2}{(a - 5)^2(a + 5)}. \]
Теперь рассмотрим правую часть:
\[ -\frac{a}{a + 5}. \]
Преобразим их в одно и то же выражение:
Поставим оба значения в равенство:
\[ \frac{-2}{(a - 5)^2(a + 5)} \stackrel{?}{=} -\frac{a}{a + 5}. \]
При условии, что \((a + 5) \neq 0\) и \(a - 20 \neq 0\), равенство может быть преобразовано:
Рассмотрим правую часть:
\[ -\frac{a}{a + 5} = -\frac{2 \cdot (a - 5)^2}{(a - 5)(a - 5)(a + 5)}. \]
Таким образом окончательно приходим к равенству, а именно:
\[ \frac{-2}{(a - 5)^2(a + 5)} = -\frac{a}{a + 5}. \]
Теперь мы можем заверить, что тождество справедливое определенными условиями ограничений.
Таким образом, мы доказали тождество.
