Стрелок три раза стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,5. Найдите вероятность того, что стрелок попал в мишень два раза и один раз…

Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать формулу для вычисления вероятности в задачах с биномиальным распределением. В данном случае, у нас есть 3 выстрела и вероятность попадания в мишень (успеха) равна 0,5.

Вероятность успеха (попадания) обозначим как \( p = 0,5 \), а вероятность неудачи (промаха) будет \( q = 1 - p = 0,5 \). Мы хотим найти вероятность того, что стрелок попадет в мишень два раза и промахнётся один раз.

1. Количество способов: Сначала определим, сколько различных последовательностей мы можем получить, где стрелок попадает в мишень два раза и промахивается один раз. Это можно выразить через биномиальный коэффициент \( C(n, k) \), где \( n \) — общее количество выстрелов, а \( k \) — количество попаданий (успехов). В нашем случае это \( C(3, 2) \).

\[ C(3, 2) = \frac{3!}{2!(3-2)!} = \frac{3 \times 2 \times 1}{2 \times 1 \times 1} = 3 \]

2. Вероятность каждого события: Теперь найдем вероятность конкретной последовательности, например, "попал, попал, промахнулся". Эта вероятность будет равна:

\[ p^2 \cdot q^1 = (0,5)^2 \cdot (0,5)^1 = 0,25 \cdot 0,5 = 0,125 \]

3. Общая вероятность: Умножим количество способов на вероятность одной последовательности:

\[ P(2 \text{ попадания и } 1 \text{ промаха}) = C(3, 2) \cdot p^2 \cdot q^1 = 3 \cdot 0,125 = 0,375 \]

Таким образом, вероятность того, что стрелок попадет в мишень два раза и один раз промахнется, составляет 0,375, или 37,5%.