решите уравнение: (х²-12х+20)²=(х²+2х-12)²
Чтобы решить уравнение \((x² - 12x + 20)² = (x² + 2x - 12)²\), начнём с того, что можно взять квадратный корень из обеих сторон уравнения. Однако нужно помнить, что это может добавить дополнительные решения. У нас получится:
\[ |x² - 12x + 20| = |x² + 2x - 12| \]
Теперь мы рассмотрим два случая:
- \(x² - 12x + 20 = x² + 2x - 12\)
- \(x² - 12x + 20 = -(x² + 2x - 12)\)
Первый случай:
Решим уравнение:
\[ x² - 12x + 20 = x² + 2x - 12 \]
Сократим \(x²\) с обеих сторон:
\[ -12x + 20 = 2x - 12 \]
Переносим все члены с \(x\) в одну сторону и константы в другую:
\[ -12x - 2x = -12 - 20 \]
\[ -14x = -32 \]
Делим обе стороны на \(-14\):
\[ x = \frac{32}{14} = \frac{16}{7} \]
Второй случай:
Теперь решим следующее уравнение:
\[ x² - 12x + 20 = - (x² + 2x - 12) \]
Это приведет нас к:
\[ x² - 12x + 20 = -x² - 2x + 12 \]
Переносим все члены в одну сторону:
\[ x² + x² - 12x + 2x + 20 - 12 = 0 \]
\[ 2x² - 10x + 8 = 0 \]
Упростим это уравнение:
\[ x² - 5x + 4 = 0 \]
Теперь можем решить его через формулу корней квадратного уравнения:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b² - 4ac}}{2a} \]
Здесь \(a = 1\), \(b = -5\), \(c = 4\):
\[ x = \frac{5 \pm \sqrt{(-5)² - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1} \]
\[ x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 16}}{2} \]
\[ x = \frac{5 \pm \sqrt{9}}{2} \]
\[ x = \frac{5 \pm 3}{2} \]
Таким образом, мы получаем два решения:
- \(x = \frac{8}{2} = 4\)
- \(x = \frac{2}{2} = 1\)
Итог:
Решения уравнения:
- \(x = \frac{16}{7}\)
- \(x = 4\)
- \(x = 1\)
Можно также проверить каждое из найденных значений, подставив их обратно в исходное уравнение, чтобы удостовериться, что они верны.
