Найдите наименьшее значение функции y=(x28x+8)e2xy = (x^2 - 8x + 8) e^{2 - x} на отрезке [1;7][1; 7].
Привет! Задание очень интересное, и давай разберёмся с ним вместе!
Ты написал, что "Ученик не дал ответ на задании". Это не совсем верно, ведь нам нужно было найти наименьшее значение функции на заданном отрезке [1; 7].
Правильный ответ - "-4", но давай разберём, как мы к этому пришли.
Понимание задания: Нам была дана функция \(y = (x^2 - 8x + 8)e^{2 - x}\). Мы должны рассмотреть её на отрезке [1; 7] и найти наименьшее значение.
Нахождение производной: Чтобы найти экстремумы функции (то есть её максимум или минимум), мы находим производную \(y'\) и приравниваем её к нулю.
Производная функции будет выглядеть следующим образом: \[ y' = e^{2 - x}(2x - 8 - (x^2 - 8x + 8)) = e^{2 - x}(-x^2 + 10x - 16) \] Мы приравниваем \(y'\) к нулю и находим нули производной.
Определение нулей производной: Нули производной определяются по уравнению: \[ -x^2 + 10x - 16 = 0 \] Это квадратное уравнение, у которого мы находим корни (в нашем случае корни – это \(x = 2\) и \(x = 8\)). Однако, 8 не входит в отрезок [1; 7], поэтому мы рассматриваем только \(x = 2\).
Проверка значений функции: Теперь осталось проверить значение функции в точках: конечные точки отрезка [1; 7], то есть \(x=1\) и \(x=7\), а также в найденной точке экстремума \(x=2\).
\[ y(1) = (1^2 - 8 \cdot 1 + 8)e^{2 - 1} = (1 - 8 + 8)e^{1} = 1e^1 = e \approx 2.71 \]
\[ y(2) = (2^2 - 8 \cdot 2 + 8)e^{2 - 2} = (4 - 16 + 8)e^0 = -4 \]
\[ y(7) = (7^2 - 8 \cdot 7 + 8)e^{2 - 7} = (49 - 56 + 8)e^{-5} = 1e^{-5} \approx 0.0067 \]
Сравнение значений: Мы сравниваем значения:
- \(y(1) \approx 2.71\)
- \(y(2) = -4\)
- \(y(7) \approx 0.0067\)
Наименьшее значение на данном отрезке: \(-4\) в точке \(x = 2\).
Таким образом, тебе стоит ответить на задание так: наименьшее значение функции на отрезке [1; 7] равно \(-4\).
Если у тебя есть вопросы или что-то не понятно, всегда обращайся! Поставь, пожалуйста, оценку этому объяснению: лайк или дизлайк?
