Докажите, что четырёхугольник АВСД с вершинами в точках А(3; 0), В(0; 5), С(-3;0) и D(0;-5) является квадратом
Чтобы доказать, что четырёхугольник ABCD является квадратом, нужно проверить несколько свойств: наличие всех сторон одинаковой длины и равенство всех углов, что для квадрата равно 90 градусам.
- Найдём длины сторон:
- \( AB \) между точками \( A(3, 0) \) и \( B(0, 5) \): \[ AB = \sqrt{(0 - 3)^2 + (5 - 0)^2} = \sqrt{(-3)^2 + 5^2} = \sqrt{9 + 25} = \sqrt{34} \]
- \( BC \) между точками \( B(0, 5) \) и \( C(-3, 0) \): \[ BC = \sqrt{(-3 - 0)^2 + (0 - 5)^2} = \sqrt{(-3)^2 + (-5)^2} = \sqrt{9 + 25} = \sqrt{34} \]
- \( CD \) между точками \( C(-3, 0) \) и \( D(0, -5) \): \[ CD = \sqrt{(0 + 3)^2 + (-5 - 0)^2} = \sqrt{(3)^2 + (-5)^2} = \sqrt{9 + 25} = \sqrt{34} \]
- \( DA \) между точками \( D(0, -5) \) и \( A(3, 0) \): \[ DA = \sqrt{(3 - 0)^2 + (0 + 5)^2} = \sqrt{(3)^2 + (5)^2} = \sqrt{9 + 25} = \sqrt{34} \]
Таким образом, все стороны квадрата имеют одинаковую длину \( AB = BC = CD = DA = \sqrt{34} \).
Проверим перпендикулярность сторон: Если углы квадрата равны 90 градусам, это значит, что векторы, определяющие соседние стороны, перпендикулярны друг другу.
- Вектор \( \overrightarrow{AB} = B - A = (0 - 3, 5 - 0) = (-3, 5) \)
- Вектор \( \overrightarrow{BC} = C - B = (-3 - 0, 0 - 5) = (-3, -5) \)
Для проверки перпендикулярности найдём скалярное произведение: \[ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC} = (-3) \cdot (-3) + 5 \cdot (-5) = 9 - 25 = -16 \quad (\text{не равно } 0) \]
Проверим другие пары:
- Вектор \( \overrightarrow{CD} = D - C = (0 + 3, -5 - 0) = (3, -5) \)
- Вектор \( \overrightarrow{DA} = A - D = (3 - 0, 0 + 5) = (3, 5) \)
Проверим: \[ \overrightarrow{CD} \cdot \overrightarrow{DA} = 3 \cdot 3 + (-5) \cdot 5 = 9 - 25 = -16 \quad (\text{не равно } 0) \]
Таким образом, выполнены условия равенства длин сторон, но не перпендикулярности соседних сторон. Это говорит о том, что ABCD не является квадратом, так как углы не равны 90 градусам.
В итоге можно сделать вывод: четырёхугольник ABCD не является квадратом.
