вычислите: sin 11п/18 - sin п/18 / cos 11п/18 - cos п/18

Для вычисления выражения \(\frac{\sin \frac{11\pi}{18} - \sin \frac{\pi}{18}}{\cos \frac{11\pi}{18} - \cos \frac{\pi}{18}}\) можно воспользоваться формулами разности синусов и косинусов.

Формула разности синусов:

\[ \sin A - \sin B = 2 \cos \left( \frac{A+B}{2} \right) \sin \left( \frac{A-B}{2} \right) \]

Формула разности косинусов:

\[ \cos A - \cos B = -2 \sin \left( \frac{A+B}{2} \right) \sin \left( \frac{A-B}{2} \right) \]

В данном случае \(A = \frac{11\pi}{18}\) и \(B = \frac{\pi}{18}\).

Сначала найдём \(A+B\) и \(A-B\):

\[ A + B = \frac{11\pi}{18} + \frac{\pi}{18} = \frac{12\pi}{18} = \frac{2\pi}{3} \]

\[ A - B = \frac{11\pi}{18} - \frac{\pi}{18} = \frac{10\pi}{18} = \frac{5\pi}{9} \]

Теперь подставим эти значения в формулы разности:

\[ \sin \frac{11\pi}{18} - \sin \frac{\pi}{18} = 2 \cos \left( \frac{2\pi}{3} \cdot \frac{1}{2} \right) \sin \left( \frac{5\pi}{9} \cdot \frac{1}{2} \right) = 2 \cos \frac{\pi}{3} \sin \frac{5\pi}{18} \]

\(\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}\), значит:

\[ \sin \frac{11\pi}{18} - \sin \frac{\pi}{18} = 2 \cdot \frac{1}{2} \sin \frac{5\pi}{18} = \sin \frac{5\pi}{18} \]

Теперь вычислим для косинусов:

\[ \cos \frac{11\pi}{18} - \cos \frac{\pi}{18} = -2 \sin \left( \frac{2\pi}{3} \cdot \frac{1}{2} \right) \sin \left( \frac{5\pi}{9} \cdot \frac{1}{2} \right) = -2 \sin \frac{\pi}{3} \sin \frac{5\pi}{18} \]

\(\sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}\), значит:

\[ \cos \frac{11\pi}{18} - \cos \frac{\pi}{18} = -2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \sin \frac{5\pi}{18} = -\sqrt{3} \sin \frac{5\pi}{18} \]

Теперь подставим результаты в исходное выражение:

\[ \frac{\sin \frac{5\pi}{18}}{-\sqrt{3} \sin \frac{5\pi}{18}} = -\frac{1}{\sqrt{3}} \]

Таким образом, окончательный ответ:

\[ \frac{\sin \frac{11\pi}{18} - \sin \frac{\pi}{18}}{\cos \frac{11\pi}{18} - \cos \frac{\pi}{18}} = -\frac{1}{\sqrt{3}} \]