По какой линии должна двигаться точка, начальное положение которой определено координатами (3; 8), чтобы кратчайшим путем дойти до прямой y=-1/2-1 ? В какой точке она достигнет…
По какой линии должна двигаться точка, начальное положение которой определено координатами (3; 8), чтобы кратчайшим путем дойти до прямой y=-1/2-1 ? В какой точке она достигнет этой прямой и как велик будет пройденный путь?
Чтобы найти кратчайший путь от точки с координатами (3; 8) до прямой \( y = -\frac{1}{2}x - 1 \), необходимо определить перпендикулярную линию, которая соединит данную точку с этой прямой.
Определим уравнение перпендикуляра: Сначала найдем угловой коэффициент данной прямой. Угловой коэффициент \( k = -\frac{1}{2} \), следовательно, угловой коэффициент перпендикуляра \( k_{\perp} \) будет равен \( 2 \) (обратное значение и с противоположным знаком).
Уравнение прямой, проходящей через точку (3; 8) с угловым коэффициентом 2, можно записать следующим образом: \[ y - 8 = 2(x - 3) \] или \[ y = 2x + 2. \]
Найдем точку пересечения: Чтобы найти точку пересечения этой прямой с оригинальной прямой \( y = -\frac{1}{2}x - 1 \), приравняем их: \[ 2x + 2 = -\frac{1}{2}x - 1. \] Умножим на 2, чтобы избавиться от дробей: \[ 4x + 4 = -x - 2. \] Переносим все элементы в одну сторону: \[ 4x + x = -2 - 4, \] \[ 5x = -6 \implies x = -\frac{6}{5} = -1.2. \]
Подставим \( x \) обратно в одно из уравнений, чтобы найти \( y \): \[ y = 2 \cdot \left(-\frac{6}{5}\right) + 2 = -\frac{12}{5} + 2 = -\frac{12}{5} + \frac{10}{5} = -\frac{2}{5}. \]
Таким образом, точка пересечения будет \( \left(-\frac{6}{5}, -\frac{2}{5}\right) \).
Вычислим расстояние: Теперь используем формулу расстояния между двумя точками \( (x_1, y_1) \) и \( (x_2, y_2) \): \[ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}. \] Подставим координаты: \[ d = \sqrt{\left(-\frac{6}{5} - 3\right)^2 + \left(-\frac{2}{5} - 8\right)^2}. \] Приведем значения к общему виду: \[ -\frac{6}{5} - 3 = -\frac{6}{5} - \frac{15}{5} = -\frac{21}{5}, \] \[ -\frac{2}{5} - 8 = -\frac{2}{5} - \frac{40}{5} = -\frac{42}{5}. \] Подставляем в формулу: \[ d = \sqrt{\left(-\frac{21}{5}\right)^2 + \left(-\frac{42}{5}\right)^2} = \sqrt{\frac{441}{25} + \frac{1764}{25}} = \sqrt{\frac{2205}{25}} = \frac{\sqrt{2205}}{5}. \]
Теперь вы имеете полную информацию о линии, по которой должна двигаться точка, о точке, в которой она достигнет прямой, и о расстоянии, которое она пройдёт. Если есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь спрашивать!
