корень 3x+4-корень x-4=2 корень из x
Чтобы решить уравнение \( \sqrt{3x + 4} - \sqrt{x - 4} = 2\sqrt{x} \), давайте выполнит несколько шагов.
Изолируем один из корней: Начнем с переноса \(\sqrt{x - 4}\) на правую сторону:
\[ \sqrt{3x + 4} = 2\sqrt{x} + \sqrt{x - 4} \]
Квадратим обе стороны: Это позволит устранить один корень. Однако будьте осторожны, так как необходимо будет проверить возможные решения, так как при квадратировании могут возникнуть extraneous solutions:
\[ 3x + 4 = (2\sqrt{x} + \sqrt{x - 4})^2 \]
Раскроем квадрат правой части:
\[ (2\sqrt{x} + \sqrt{x - 4})^2 = (2\sqrt{x})^2 + 2 \cdot 2\sqrt{x} \cdot \sqrt{x - 4} + (\sqrt{x - 4})^2 \]
Это дает:
\[ 4x + 4\sqrt{x(x - 4)} + (x - 4) \]
Объединим подобные слагаемые:
\[ 4x + 4\sqrt{x^2 - 4x} + x - 4 = 5x - 4 + 4\sqrt{x^2 - 4x} \]
Сравниваем обе стороны:
Теперь у нас есть:
\[ 3x + 4 = 5x - 4 + 4\sqrt{x^2 - 4x} \]
Переносим все на одну сторону:
\[ 3x + 4 - 5x + 4 = 4\sqrt{x^2 - 4x} \]
Это просто:
\[ -2x + 8 = 4\sqrt{x^2 - 4x} \]
Делим обе стороны на 4:
\[ \frac{-2x + 8}{4} = \sqrt{x^2 - 4x} \]
Это упрощается до:
\[ \frac{-x + 4}{2} = \sqrt{x^2 - 4x} \]
Снова квадратим обе стороны:
\[ \left(\frac{-x + 4}{2}\right)^2 = x^2 - 4x \]
То есть:
\[ \frac{(-x + 4)^2}{4} = x^2 - 4x \]
Упрощаем:
\[ \frac{x^2 - 8x + 16}{4} = x^2 - 4x \]
Умножаем уравнение на 4 для устранения дробей:
\[ x^2 - 8x + 16 = 4x^2 - 16x \]
Переносим всё в одну сторону:
\[ -3x^2 + 8x + 16 = 0 \]
Упорядочим уравнение:
\[ 3x^2 - 8x - 16 = 0 \]
Решаем квадратное уравнение: Используем дискриминант:
\[ D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-16) = 64 + 192 = 256 \]
Находим корни:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 \pm 16}{6} \]
Это дает два решения:
\[ x_1 = \frac{24}{6} = 4, \quad x_2 = \frac{-8}{6} = -\frac{4}{3} \]
Проверяем корни:
- \( x = 4 \): Подставляя обратно в исходное уравнение, проверяем, соответствует ли это уравнению.
- \( x = -\frac{4}{3} \): Поскольку под корнем не может быть отрицательного значения, это значение исключаем.
Таким образом, единственное решение \( x = 4 \).
