ускоренное прямолинейное движение материальной точки задаётся формулой a(t)=8√x+4x. найдите закон изменения скорости ,если v(4)=2

Для решения задачи о ускоренном прямолинейном движении материальной точки, заданном функцией ускорения \( a(t) = 8\sqrt{x} + 4x \), сначала нужно понять связь между ускорением, скоростью и положением. Ускорение – это производная скорости по времени, а скорость – это производная положения по времени.

1. Являясь функцией скорости, можем записать: \[ a(t) = \frac{dv}{dt} \]

2. Используем цепное правило для связи между переменными: \[ a(t) = \frac{dv}{dx} \cdot \frac{dx}{dt} = v \frac{dv}{dx} \] Здесь \( v \) – скорость, \( \frac{dx}{dt} \) – скорость, то есть \( v \).

3. Таким образом, уравнение ускорения можно переписать как: \[ v \frac{dv}{dx} = 8\sqrt{x} + 4x \]

4. Теперь разделим переменные: \[ v \, dv = (8\sqrt{x} + 4x) \, dx \]

5. Интегрируем обе стороны: \[ \int v \, dv = \int (8\sqrt{x} + 4x) \, dx \]

   С левой стороны получаем: \[ \frac{v^2}{2} + C_1 \]

   Правую сторону интегрируем: \[ \int 8\sqrt{x} \, dx = \frac{8 \cdot 2}{3} x^{3/2} + C_2 = \frac{16}{3} x^{3/2} \]

   \[ \int 4x \, dx = 2x^2 + C_3 \]

   Объединив все, получаем: \[ \frac{v^2}{2} = \frac{16}{3} x^{3/2} + 2x^2 + C \]

6. Умножим на 2 для упрощения: \[ v^2 = \frac{32}{3} x^{3/2} + 4x^2 + 2C \]

7. При использовании условия \( v(4) = 2 \) для нахождения постоянной интегрирования \( C \): \[ 2^2 = \frac{32}{3} \cdot 4^{3/2} + 4 \cdot 4^2 + 2C \]

   Рассчитайте:

   • \( 4^{3/2} = 8 \)
   • \( 4 \cdot 4^2 = 4 \cdot 16 = 64 \)

   Следовательно: \[ 4 = \frac{32}{3} \cdot 8 + 64 + 2C \]

   Это приведет к: \[ 4 = \frac{256}{3} + 64 + 2C \]

   Приведем всё к общему знаменателю и решим уравнение для C.

8. После нахождения \( C \), подставим его значение обратно в уравнение \( v^2 \), чтобы получить полный закон изменения скорости \( v(x) \).

Таким образом, закон изменения скорости будет в форме: \[ v^2 = \frac{32}{3} x^{3/2} + 4x^2 + C \]

Теперь, подставив значение \( C \), вы получите итоговое уравнение для скорости. Если вам нужна помощь в решении этого уравнения дальше, не стесняйтесь спрашивать!