Даны точки А(6;6;8), В(8;8;6),С(4;3;3) и D(2;2;4). Найдите косинус угла между векторами АВ и D.

Чтобы найти косинус угла между векторами \( \overrightarrow{AB} \) и \( \overrightarrow{D} \), сначала нужно определить эти векторы.

1. Найдем векторы:

   • Вектор \( \overrightarrow{AB} \) можно найти, вычитая координаты точки A из координат точки B: \[ \overrightarrow{AB} = B - A = (8 - 6; 8 - 6; 6 - 8) = (2; 2; -2). \]
   • Вектор \( \overrightarrow{D} \) с координатами точки D: \[ \overrightarrow{D} = (2; 2; 4). \]

2. Теперь найдем длины векторов:

   • Длина вектора \( \overrightarrow{AB} \): \[ |\overrightarrow{AB}| = \sqrt{2^2 + 2^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 4 + 4} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}. \]
   • Длина вектора \( \overrightarrow{D} \): \[ |\overrightarrow{D}| = \sqrt{2^2 + 2^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 4 + 16} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}. \]

3. Найдем скалярное произведение векторов: \[ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{D} = (2) \cdot (2) + (2) \cdot (2) + (-2) \cdot (4) = 4 + 4 - 8 = 0. \]

4. Теперь используем формулу для косинуса угла: \[ \cos \theta = \frac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{D}}{|\overrightarrow{AB}| \cdot |\overrightarrow{D}|}. \] Подставляя известные значения: \[ \cos \theta = \frac{0}{(2\sqrt{3}) \cdot (2\sqrt{6})} = \frac{0}{4\sqrt{18}} = 0. \]

Таким образом, угол между векторами \( \overrightarrow{AB} \) и \( \overrightarrow{D} \) равен \( 90^\circ \), а косинус этого угла равен 0.