5. Деревянный куб с ребром 30 см плавает в озере. Плотность дерева р = 750 кг м3, плотность воды р0 = 1000 кг м3. Какую минимальную работу нужно совершить, чтобы полностью вытащить куб из воды? (
Чтобы найти минимальную работу, необходимую для полного извлечения деревянного куба из воды, нужно учитывать выталкивающую силу со стороны воды и вес куба.
Объем куба: \[ V = a^3 = 0.3^3 = 0.027 \, \text{м}^3 \]
Вес куба: \[ W_{\text{куба}} = V \cdot \rho_{\text{дерева}} \cdot g = 0.027 \, \text{м}^3 \cdot 750 \, \text{кг/м}^3 \cdot 9.81 \, \text{м/с}^2 \] \[ W_{\text{куба}} = 0.027 \cdot 750 \cdot 9.81 \approx 198.075 \, \text{Н} \]
Сила Архимеда (выталкивающая сила): \[ F_{\text{выт}} = V \cdot \rho_{\text{воды}} \cdot g = 0.027 \, \text{м}^3 \cdot 1000 \, \text{кг/м}^3 \cdot 9.81 \, \text{м/с}^2 \] \[ F_{\text{выт}} = 0.027 \cdot 1000 \cdot 9.81 \approx 264.87 \, \text{Н} \]
Работа, необходимая для извлечения куба: Чтобы полностью вытянуть куб из воды, нужно преодолеть разницу между выталкивающей силой и весом куба. В процессе вынимания куба, выталкивающая сила меняется от полной (когда куб полностью в воде) до нуля (когда куб вне воды).
Общая работа, необходимая для извлечения куба, равна интегралу от этой разницы сил: \[ A = \int_0^{h} (F_{\text{выт}} - W_{\text{куба}}) \, dh \] Здесь \( h \) — высота, на которую куб вытаскивается. В момент, когда куб полностью вне воды, \( F_{\text{выт}} = 0 \).
Средняя сила, действующая на куб, равна: \[ F_{\text{ср}} = \frac{F_{\text{выт}} - W_{\text{куба}}}{2} \]
Вычисляем работу: \[ A = F_{\text{ср}} \cdot h = \left( \frac{264.87 \, \text{Н} - 198.075 \, \text{Н}}{2} \right) \cdot 0.3 \, \text{м} \] \[ A = \left( \frac{66.795}{2} \right) \cdot 0.3 \approx 10.018 \, \text{Дж} \]
Таким образом, минимальная работа, необходимая для полного извлечения куба из воды, составляет примерно 10.018 Дж.
