Решите уравнение: (z + i)(1 + 2i) = 5 - 3i. Выберите вариант ответа. 3, 6i + 1/5 -3, 6i + 1/5 3, 6i - 1/5 -3, 6i - 1/5
Давайте решим уравнение \((z + i)(1 + 2i) = 5 - 3i\).
Сначала раскроем скобки слева:
\[ (z + i)(1 + 2i) = z(1 + 2i) + i(1 + 2i) = z + 2zi + i + 2i^2 \]
Поскольку \(i^2 = -1\), то \(2i^2 = -2\). Таким образом, упростим:
\[ z + 2zi + i - 2 = z + 2zi + (i - 2) \]
Теперь запишем уравнение в явном виде:
\[ z + 2zi + i - 2 = 5 - 3i \]
Теперь мы можем привести подобные члены и если мы собрались выражать \(z\), перенесем все члены, содержащие \(z\) в одну сторону, а остальные - в другую:
\[ z + 2zi + i - 2 - 5 + 3i = 0 \]
Упрощая, получаем:
\[ z + 2zi + (i + 3i - 2 - 5) = 0 \]
Соберем:
\[ z + 2zi + (4i - 7) = 0 \]
Теперь пусть \(z = x + yi\), где \(x\) и \(y\) - действительная и мнимая части соответственно.
Подставляя \(z\) в уравнение, мы имеем:
\[ (x + yi) + 2(x + yi)(i) + 4i - 7 = 0 \]
Раскроем скобки:
\[ x + yi + 2(-y + xi) + 4i - 7 = 0 \]
Произведем упрощение:
\[ x + yi - 2y + 2xi + 4i - 7 = 0 \]
Соберем действительные и мнимые части:
\((x - 2y - 7) + (y + 2x + 4)i = 0\)
Теперь каждую часть можно приравнять к нулю:
- \(x - 2y - 7 = 0\)
- \(y + 2x + 4 = 0\)
Теперь решим систему уравнений. Из первого уравнения выразим \(x\):
\(x = 2y + 7\)
Подставим \(x\) во второе уравнение:
\(y + 2(2y + 7) + 4 = 0\)
Тогда:
\(y + 4y + 14 + 4 = 0\)
\(5y + 18 = 0\)
\(5y = -18\)
\(y = -\frac{18}{5}\)
Теперь подставим это значение обратно для \(x\):
\(x = 2(-\frac{18}{5}) + 7\)
\(x = -\frac{36}{5} + \frac{35}{5} = -\frac{1}{5}\)
Таким образом, мы получили:
\(z = -\frac{1}{5} - \frac{18}{5}i\)
Формируя ответ, можно записать это в виде:
\(-\frac{1}{5} + 6i\)
Сравнив с предложенными вариантами, видим, что правильный ответ:
\(-3, 6i - 1/5\) - соответствует результату, так как значения совпадают с той стороны мнимой части.
Таким образом, ответ:
\(-3, 6i - 1/5\).
