Мать дарит каждой из 5 своих дочерей в день рождения, начиная с 5 лет, столько книг, сколько дочери лет. Возрасты пяти дочерей составляют арифметическую прогрессию, разность…
Мать дарит каждой из 5 своих дочерей в день рождения, начиная с 5 лет, столько книг, сколько дочери лет. Возрасты пяти дочерей составляют арифметическую прогрессию, разность которой равна 2. Сколько лет было старшей дочери, когда у них составилась библиотека общей численностью в 495 книг. Уравнение
Чтобы решить эту задачу, давайте сначала обозначим возраст старшей дочери как \( x \). Поскольку возраста дочерей находятся в арифметической прогрессии с разностью 2, это означает, что возраста дочерей могут быть следующими:
- Старшая дочь: \( x \)
- Вторая дочь: \( x - 2 \)
- Третья дочь: \( x - 4 \)
- Четвертая дочь: \( x - 6 \)
- Младшая дочь: \( x - 8 \)
Теперь, мы знаем, что каждая дочь получает количество книг, равное её возрасту, начиная с 5 лет. Поэтому, начиная с 5-летнего возраста, будем вычислять, сколько книг каждая дочь получит за каждое день рождения до момента, когда библиотека достигнет 495 книг.
Посчитаем общее количество книг, которое будет дариться каждой дочери на протяжении лет:
Старшая дочь: будет получать книги от 5 до \( x \) лет, что даст ей: \[ x + (x-1) + (x-2) + (x-3) + (x-4) + (x-5) \] Необходимо учитывать только те года, когда ей было больше 5.
По аналогии, считаем количества книг для других дочерей:
- Вторая дочь: начиная с 5 до \( x-2 \)
- Третья дочь: начиная с 5 до \( x-4 \)
- Четвертая дочь: начиная с 5 до \( x-6 \)
- Младшая дочь: начиная с 5 до \( x-8 \)
Теперь мы можем выразить общее количество книг:
Общее количество книг = Количество книг старшей дочери + Количество книг второй дочери + Количество книг третьей дочери + Количество книг четвертой дочери + Количество книг младшей дочери.
Формула для каждой дочери:
\[ \text{Книги} = (\text{Возраст в дни рождения}) \cdot (\text{Количество лет}) \]
Если обозначить Мамой общий возраст каждой дочери после каждого дня рождения от 5 до \( x \):
Для старшей дочери: \[ \text{Складываем: } x + (x - 1) + (x - 2) + (x - 3) + (x - 4) + (x - 5) \]
Эти суммы будут зависеть от каждого года до случая старшей.
Теперь, необходимо найти прекратимую сумму, когда она равна 495:
Обрати внимание на числа элементарного ряда и сложи. Получится сама сумма:
Извлечем этот сложный расчет, прежде чем подгонять под 495; итоговый результат находит количество книг.
Решением будет решение уравнения:
\[ x + (x-2) + (x-4) + (x-6) + (x-8) = 495 \]
Решив это уравнение:
Подставляем: \[ 5x - 20 = 495 \Rightarrow 5x = 515 \Rightarrow x = 103 \]
Ответ: старшая дочь была 19 лет, когда у них была библиотека общей численностью 495 книг.
