2sin²x -5 sin x +2= 0
Чтобы решить уравнение \( 2\sin^2 x - 5\sin x + 2 = 0 \), начнем с обозначения \( y = \sin x \). Таким образом, перепишем уравнение:
\[ 2y^2 - 5y + 2 = 0. \]
Теперь мы можем использовать формулу для решения квадратного уравнения \( ay^2 + by + c = 0 \):
\[ y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}, \]
где \( a = 2 \), \( b = -5 \), и \( c = 2 \).
Подставим значения \( a \), \( b \), и \( c \):
- Вычислим дискриминант \( D \):
\[ D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9. \]
- Теперь подставим дискриминант в формулу для \( y \):
\[ y = \frac{5 \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{5 \pm 3}{4}. \]
Это дает нам два возможных значения для \( y \):
- Первое решение:
\[ y_1 = \frac{5 + 3}{4} = \frac{8}{4} = 2. \]
- Второе решение:
\[ y_2 = \frac{5 - 3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}. \]
Однако, поскольку \( y = \sin x \), и значение синуса может находиться только в диапазоне от -1 до 1, \( y_1 = 2 \) не является допустимым значением. Следовательно, мы принимаем только \( y_2 = \frac{1}{2} \).
Теперь вернемся к углу \( x \):
\[ \sin x = \frac{1}{2}. \]
Это равенство выполняется при следующих углах:
\[ x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \quad \text{и} \quad x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi, \quad \text{где } k \text{ — целое число.} \]
Таким образом, полный ответ для уравнения \( 2\sin^2 x - 5\sin x + 2 = 0 \) будет:
\[ x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \quad \text{или} \quad x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi \quad (k \in \mathbb{Z}). \]
Если у вас есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь спрашивать!
