Найти область определения функции: 1) У = log5 (х2 -4x + 3); 2) у = log6 (3х+2)/(1-x); 3) У = корень (lgx + lg(x + 2)); 4) y = корень (lg(x-l) + lg(x+l)).

Давайте разберём каждую из предложенных функций и найдем их область определения.

1. У = log5 (х² - 4x + 3)

Для логарифмической функции область определения — это те значения \(x\), при которых аргумент логарифма положителен. Поэтому нужно решить неравенство:

\(x² - 4x + 3 > 0\).

Решим квадратное неравенство, найдя корни уравнения:

\(x² - 4x + 3 = 0\)

\( (x - 1)(x - 3) = 0 \)

Корни: \(x = 1\) и \(x = 3\). Теперь рассмотрим промежутки:

• При \(x < 1\) (например, \(x = 0\)): \(0² - 4(0) + 3 = 3 > 0\) (принадлежит области)
• При \(1 < x < 3\) (например, \(x = 2\)): \(2² - 4(2) + 3 = -1 < 0\) (не принадлежит области)
• При \(x > 3\) (например, \(x = 4\)): \(4² - 4(4) + 3 = 3 > 0\) (принадлежит области)

Таким образом, область определения: \( (-\infty, 1) \cup (3, +\infty) \).

2. у = log6 \((\frac{3x+2}{1-x})\)

Для этой функции также нужно, чтобы аргумент логарифма был положителен:

\(\frac{3x + 2}{1 - x} > 0\).

Это неравенство выполняется, если числитель и знаменатель имеют одинаковые знаки, то есть:

1. \(3x + 2 > 0\) и \(1 - x > 0\) (возьмём \(x < 1\))
2. \(3x + 2 < 0\) и \(1 - x < 0\)

Решим каждое из условий:

1. \(3x + 2 > 0\) дает \(x > -\frac{2}{3}\). Сочетаем с \(x < 1\): \(-\frac{2}{3} < x < 1\).

2. \(3x + 2 < 0\) дает \(x < -\frac{2}{3}\). Сочетаем с \(x > 1\) (не совпадающие интервалы).

Таким образом, область определения: \((- \frac{2}{3}, 1)\).

3. У = корень (lgx + lg(x + 2))

Здесь подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

\(lgx + lg(x + 2) \geq 0\)

Объединим логарифмы:

\(lg(x(x + 2)) \geq 0\)

Это значит, что:

\(x(x + 2) \geq 1\)

Находим корни: \(x^2 + 2x - 1 = 0\). Решаем:

\(x = \frac{-2 \pm \sqrt{(2)^2 + 4}}{2} = -1 \pm \sqrt{2}\).

Итак, два корня: \(x_1 = -1 - \sqrt{2}\) и \(x_2 = -1 + \sqrt{2}\). Учитывая, что \(x > 0\) (логарифм требует положительных значений):

Для нахождения нужного промежутка нужно проверить:

• \(x < -1 - \sqrt{2}\) — не подходит
• \(-1 + \sqrt{2} < x\) (т.к. \(-1 + \sqrt{2} \approx 0.414\))

Следовательно, область определения: \( (-1 + \sqrt{2}, +\infty) \).

4. y = корень (lg(x-1) + lg(x+1))

Аналогично, подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

\(lg(x-1) + lg(x+1) \geq 0\)

Объединяем логарифмы:

\(lg((x-1)(x+1)) \geq 0\)

То есть, \((x-1)(x+1) \geq 1\). Решаем:

\(x^2 - 1 - 1 \geq 0 \Rightarrow x^2 - 2 \geq 0 \Rightarrow (x - \sqrt{2})(x + \sqrt{2}) \geq 0\).

Корни: \(x = -\sqrt{2}, x = \sqrt{2}\).

Учитывая, что \(x > 1\) (в логарифме менее \(x-1 > 0\)):

Область определения: \( ( \sqrt{2}, +\infty) \).

Надеюсь, это поможет вам понять, как находить области определения функций! Если у вас есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать.