вычислите скалярное произведение векторов m и n,если m=a+2b-c ,n=2a -b, |a|=2,|b|=3 ,(ab)=60°,c| a, c|b
Для того чтобы вычислить скалярное произведение векторов \( m \) и \( n \), нам необходимо сначала определить их значения и затем применить формулу для скалярного произведения.
Векторы заданы следующим образом: \[ m = a + 2b - c \] \[ n = 2a - b \]
Для вычисления скалярного произведения \( m \cdot n \) используем распределительное свойство скалярного произведения и подставим выражения для \( m \) и \( n \): \[ m \cdot n = (a + 2b - c) \cdot (2a - b) \]
Раскроем скобки: \[ m \cdot n = a \cdot (2a - b) + 2b \cdot (2a - b) - c \cdot (2a - b) \]
Теперь вычислим каждое из слагаемых:
- \( a \cdot (2a - b) = 2a \cdot a - a \cdot b = 2|a|^2 - a \cdot b \)
- \( 2b \cdot (2a - b) = 4b \cdot a - 2|b|^2 = 4b \cdot a - 2|b|^2 \)
- \( -c \cdot (2a - b) = -2c \cdot a + c \cdot b \)
Соберем все вместе: \[ m \cdot n = (2|a|^2 - a \cdot b) + (4b \cdot a - 2|b|^2) - (2c \cdot a - c \cdot b) \] Подставим известные значения:
- \( |a| = 2 \) → \( |a|^2 = 4 \)
- \( |b| = 3 \) → \( |b|^2 = 9 \)
- \( \cos(60°) = \frac{1}{2} \) → \( a \cdot b = |a||b|\cos(60°) = 2 \cdot 3 \cdot \frac{1}{2} = 3 \)
Теперь подставим всё это в выражение: \[ m \cdot n = (2 \cdot 4 - 3) + (4 \cdot 3 - 2 \cdot 9) - (2c \cdot a - c \cdot b) \] Упрощаем: \[ = (8 - 3) + (12 - 18) - (2c \cdot a - c \cdot b) = 5 - 6 - (2c \cdot a - c \cdot b) \] Таким образом: \[ = -1 - (2c \cdot a - c \cdot b) \]
Осталось учесть, что \( c \) перпендикулярен \( a \) и \( b \), что означает, что \( c \cdot a = 0 \) и \( c \cdot b = 0 \).
Следовательно: \[ m \cdot n = -1 - (0 - 0) = -1 \]
Таким образом, скалярное произведение векторов \( m \) и \( n \) равно \( -1 \).
