Найди площадь фигуры, ограниченной графиком функции y=∣x+3∣+2 и прямыми x=−7 и x=3. Запиши в поле ответа верное число.
Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции \(y = |x + 3| + 2\) и прямыми \(x = -7\) и \(x = 3\), сначала найдем точки пересечения функции и вертикальных линий.
Определим границы:
- Мы рассматриваем интервал от \(x = -7\) до \(x = 3\).
Анализ функции: Функция \(y = |x + 3| + 2\) состоит из двух частей:
- При \(x + 3 \geq 0\) (или \(x \geq -3\)): \(y = x + 3 + 2 = x + 5\)
- При \(x + 3 < 0\) (или \(x < -3\)): \(y = -(x + 3) + 2 = -x - 3 + 2 = -x - 1\)
На интервале от \(-7\) до \(-3\) мы используем вторую часть:
- Для \(x = -7\): \[ y = -(-7) - 1 = 6 \]
- Для \(x = -3\): \[ y = -(-3) - 1 = 2 \]
На интервале от \(-3\) до \(3\):
- Для \(x = -3\): \[ y = -3 + 5 = 2 \]
- Для \(x = 3\): \[ y = 3 + 5 = 8 \]
Найдем площадь: Площадь под графиком от \(x = -7\) до \(x = -3\): \[ P_1 = \int_{-7}^{-3} (-x - 1) \, dx \] Вычислим интеграл: \[ P_1 = \left[-\frac{x^2}{2} - x \right]_{-7}^{-3} = \left[-\frac{(-3)^2}{2} - (-3)\right] - \left[-\frac{(-7)^2}{2} - (-7)\right] \] \[ P_1 = \left[-\frac{9}{2} + 3\right] - \left[-\frac{49}{2} + 7\right] \] \[ P_1 = \left[-\frac{9}{2} + \frac{6}{2}\right] - \left[-\frac{49}{2} + \frac{14}{2}\right] = \left[-\frac{3}{2}\right] - \left[-\frac{35}{2}\right] = \frac{35}{2} - \frac{3}{2} = \frac{32}{2} = 16 \]
Площадь под графиком от \(x = -3\) до \(x = 3\): \[ P_2 = \int_{-3}^{3} (x + 5) \, dx \] \[ P_2 = \left[\frac{x^2}{2} + 5x \right]_{-3}^{3} = \left[\frac{(3)^2}{2} + 5(3)\right] - \left[\frac{(-3)^2}{2} + 5(-3)\right] \] \[ P_2 = \left[\frac{9}{2} + 15\right] - \left[\frac{9}{2} - 15\right] \] \[ P_2 = \left[\frac{9}{2} + \frac{30}{2}\right] - \left[\frac{9}{2} - \frac{30}{2}\right] = \left[\frac{39}{2}\right] - \left[-\frac{21}{2}\right] = \frac{39 + 21}{2} = \frac{60}{2} = 30 \]
Общая площадь: \[ P = P_1 + P_2 = 16 + 30 = 46 \]
Итак, площадь фигуры, ограниченной графиком функции и прямыми, равна \( \boxed{46} \).
