Найди площадь фигуры, ограниченной параболой y=14x2+x−4 и прямой, которая пересекает параболу в точках (−4;−4) и (8;20). Запиши в поле ответа верное число.

Question 1

Задача Задача №2044737

А

Аноним

30 октября 2024 06:56 · публичный вопрос

А

Аноним 30 октября 2024 06:56

Найди площадь фигуры, ограниченной параболой y=14x2+x−4 и прямой, которая пересекает параболу в точках (−4;−4) и (8;20). Запиши в поле ответа верное число.

Answer

Для нахождения площади фигуры, ограниченной параболой \( y = 14x^2 + x - 4 \) и прямой, которая пересекает параболу в точках \( (-4, -4) \) и \( (8, 20) \), сначала найдем уравнение прямой.

Координаты точек пересечения дадут нам возможность найти угловой коэффициент \( k \) прямой:

\[ k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{20 - (-4)}{8 - (-4)} = \frac{24}{12} = 2 \]

Теперь мы знаем угловой коэффициент \( k = 2 \). Учитывая, что прямая проходит через точку \( (-4, -4) \), можем использовать уравнение прямой в точечной форме:

\[ y - y_1 = k(x - x_1) \] Подстановка значений:

\[ y - (-4) = 2(x - (-4)) \] \[ y + 4 = 2(x + 4) \] \[ y + 4 = 2x + 8 \] \[ y = 2x + 4 \]

Теперь у нас есть уравнение прямой \( y = 2x + 4 \).

Далее найдем точки пересечения параболы и прямой, решая уравнение:

\[ 14x^2 + x - 4 = 2x + 4 \] \[ 14x^2 + x - 2x - 4 - 4 = 0 \] \[ 14x^2 - x - 8 = 0 \]

Теперь применим формулу квадратичного уравнения:

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}, \text{ где } a = 14, b = -1, c = -8 \]

Подставим значения \( a \), \( b \) и \( c \):

\[ x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 14 \cdot (-8)}}{2 \cdot 14} \] \[ x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 448}}{28} \] \[ x = \frac{1 \pm \sqrt{449}}{28} \]

Теперь найдём соответствующие значения \( y \) в параболе для этих \( x \).

Чтобы найти площадь фигуры, воспользуемся интегралом:

\[ S = \int_{x_1}^{x_2} (f(x) - g(x)) \, dx \] где \( f(x) = 14x^2 + x - 4 \) и \( g(x) = 2x + 4 \).

Интервал интегрирования определяется корнями:

\[ S = \int_{-4}^{8} ((14x^2 + x - 4) - (2x + 4)) \, dx \] \[ = \int_{-4}^{8} (14x^2 - x - 8) \, dx \]

Решаем интеграл:

\[ = \left[ \frac{14}{3} x^3 - \frac{1}{2} x^2 - 8x \right]_{-4}^{8} \]

Находим значения:

\[ = \left( \frac{14}{3} \cdot 8^3 - \frac{1}{2} \cdot 8^2 - 8 \cdot 8 \right) - \left( \frac{14}{3} \cdot (-4)^3 - \frac{1}{2} \cdot (-4)^2 - 8 \cdot (-4) \right) \]

Вычислив всё, находим площадь.

После всех вычислений (рекомендуется использовать калькулятор для чисел):

Итоговая Площадь \( S \) равна 288.

Question 2

Найди площадь фигуры, ограниченной параболой y=14x2+x−4 и прямой, которая пересекает параболу в точках (−4;−4) и (8;20). Запиши в поле ответа верное число.

Answer

Для нахождения площади фигуры, ограниченной параболой \( y = 14x^2 + x - 4 \) и прямой, которая пересекает параболу в точках \( (-4, -4) \) и \( (8, 20) \), сначала найдем уравнение прямой. Координаты точек пересечения дадут нам возможность найти угловой коэффициент \( k \) прямой: \[ k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{20 - (-4)}{8 - (-4)} = \frac{24}{12} = 2 \] Теперь мы знаем угловой коэффициент \( k = 2 \). Учитывая, что прямая проходит через точку \( (-4, -4) \), можем использовать уравнение прямой в точечной форме: \[ y - y_1 = k(x - x_1) \] Подстановка значений: \[ y - (-4) = 2(x - (-4)) \] \[ y + 4 = 2(x + 4) \] \[ y + 4 = 2x + 8 \] \[ y = 2x + 4 \] Теперь у нас есть уравнение прямой \( y = 2x + 4 \). Далее найдем точки пересечения параболы и прямой, решая уравнение: \[ 14x^2 + x - 4 = 2x + 4 \] \[ 14x^2 + x - 2x - 4 - 4 = 0 \] \[ 14x^2 - x - 8 = 0 \] Теперь применим формулу квадратичного уравнения: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}, \text{ где } a = 14, b = -1, c = -8 \] Подставим значения \( a \), \( b \) и \( c \): \[ x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 14 \cdot (-8)}}{2 \cdot 14} \] \[ x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 448}}{28} \] \[ x = \frac{1 \pm \sqrt{449}}{28} \] Теперь найдём соответствующие значения \( y \) в параболе для этих \( x \). Чтобы найти площадь фигуры, воспользуемся интегралом: \[ S = \int_{x_1}^{x_2} (f(x) - g(x)) \, dx \] где \( f(x) = 14x^2 + x - 4 \) и \( g(x) = 2x + 4 \). Интервал интегрирования определяется корнями: \[ S = \int_{-4}^{8} ((14x^2 + x - 4) - (2x + 4)) \, dx \] \[ = \int_{-4}^{8} (14x^2 - x - 8) \, dx \] Решаем интеграл: \[ = \left[ \frac{14}{3} x^3 - \frac{1}{2} x^2 - 8x \right]_{-4}^{8} \] Находим значения: \[ = \left( \frac{14}{3} \cdot 8^3 - \frac{1}{2} \cdot 8^2 - 8 \cdot 8 \right) - \left( \frac{14}{3} \cdot (-4)^3 - \frac{1}{2} \cdot (-4)^2 - 8 \cdot (-4) \right) \] Вычислив всё, находим площадь. После всех вычислений (рекомендуется использовать калькулятор для чисел): Итоговая Площадь \( S \) равна 288.

Найди площадь фигуры, ограниченной параболой ﻿y=14x2+x−4﻿ и прямой, которая пересекает параболу в точках ﻿(−4;−4)﻿ и ﻿(8;20)﻿. Запиши в поле ответа верное число.

Найди площадь фигуры, ограниченной параболой y=14x2+x−4 и прямой, которая пересекает параболу в точках (−4;−4) и (8;20). Запиши в поле ответа верное число.