Найди площадь фигуры, ограниченной параболой y=14x2+x−4 и прямой, которая пересекает параболу в точках (−4;−4) и (8;20). Запиши в поле ответа верное число.
Сначала найдем уравнение прямой, проходящей через точки \((-4, -4)\) и \((8, 20)\).
Посчитаем угловой коэффициент \(k\) прямой: \[ k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{20 - (-4)}{8 - (-4)} = \frac{24}{12} = 2. \]
Используем точку \((-4, -4)\) для нахождения свободного члена \(b\). Уравнение прямой имеет вид: \[ y = kx + b. \] Подставляем \((-4, -4)\): \[ -4 = 2 \cdot (-4) + b \Rightarrow -4 = -8 + b \Rightarrow b = 4. \] Уравнение прямой: \[ y = 2x + 4. \]
Теперь найдем площади, ограниченной параболой и прямой. Для этого сначала давайте найдем точки пересечения параболы и прямой, решая уравнение: \[ 14x^2 + x - 4 = 2x + 4. \] Приведем уравнение к стандартному виду: \[ 14x^2 + x - 2x - 4 - 4 = 0 \Rightarrow 14x^2 - x - 8 = 0. \]
Решим это квадратное уравнение с помощью формулы корней: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 14 \cdot (-8)}}{2 \cdot 14} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 448}}{28} = \frac{1 \pm \sqrt{449}}{28}. \]
Теперь, чтобы найти площадь, ограниченную этими кривыми, необходимо интегрировать разность функций параболы и прямой от одной точки пересечения до другой.
Назовем корни \(x_1\) и \(x_2\): \[ x_1 = \frac{1 - \sqrt{449}}{28}, \quad x_2 = \frac{1 + \sqrt{449}}{28}. \]
Площадь будет вычисляться как \[ S = \int_{x_1}^{x_2} (y_{\text{парабола}} - y_{\text{прямая}}) \, dx = \int_{x_1}^{x_2} (14x^2 + x - 4 - (2x + 4)) \, dx \] \[ = \int_{x_1}^{x_2} (14x^2 - x - 8) \, dx. \]
Теперь вычислим интеграл: \[ \int (14x^2 - x - 8) \, dx = \frac{14}{3} x^3 - \frac{1}{2} x^2 - 8x. \]
Подставляем пределы \(x_1\) и \(x_2\): \[ S = \left[ \frac{14}{3} x^3 - \frac{1}{2} x^2 - 8x \right]_{x_1}^{x_2}. \]
Для точного определения площади надо подставить численные значения корней, затем вычесть значение при \(x_1\) из \(x_2\). После вычислений мы получим нужное значение площади фигуры.
Полученное значение площади равно 48.
