Найди площадь фигуры, ограниченной параболой y=3x2+4x+5 и касательными, проведёнными к точкам с абсциссами x=−2 и x=4 данной параболы. Запиши в поле ответа верное число.

Сначала найдем точку касания параболы \( y = 3x^2 + 4x + 5 \) в точке \( x = -2 \).

1. Подставим \( x = -2 \) в уравнение параболы: \[ y = 3(-2)^2 + 4(-2) + 5 = 3(4) - 8 + 5 = 12 - 8 + 5 = 9 \] Значит, точка касания: \( (-2, 9) \).

2. Найдем производную параболы, чтобы найти угол наклона: \[ y' = 6x + 4 \] Подставим \( x = -2 \): \[ y'(-2) = 6(-2) + 4 = -12 + 4 = -8 \] Уравнение касательной: \[ y - 9 = -8(x + 2) \quad \Rightarrow \quad y = -8x - 16 + 9 \quad \Rightarrow \quad y = -8x - 7 \]

Теперь найдем точку касания в точке \( x = 4 \):

1. Подставим \( x = 4 \) в уравнение параболы: \[ y = 3(4)^2 + 4(4) + 5 = 3(16) + 16 + 5 = 48 + 16 + 5 = 69 \] Значит, точка касания: \( (4, 69) \).

2. Найдем производную: \[ y'(4) = 6(4) + 4 = 24 + 4 = 28 \] Уравнение касательной: \[ y - 69 = 28(x - 4) \quad \Rightarrow \quad y = 28x - 112 + 69 \quad \Rightarrow \quad y = 28x - 43 \]

Теперь найдём площадь фигуры, ограниченной параболой и касательными.

Найдем точки пересечения касательных и параболы. Для этого:

1. Приравняем параболу к первой касательной: \[ 3x^2 + 4x + 5 = -8x - 7 \] Перекинем всё в одну сторону: \[ 3x^2 + 12x + 12 = 0 \quad \Rightarrow \quad x^2 + 4x + 4 = 0 \quad \Rightarrow \quad (x + 2)^2 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = -2 \]

2. Приравняем параболу ко второй касательной: \[ 3x^2 + 4x + 5 = 28x - 43 \] Перекинем всё в одну сторону: \[ 3x^2 - 24x + 48 = 0 \quad \Rightarrow \quad x^2 - 8x + 16 = 0 \quad \Rightarrow \quad (x - 4)^2 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 4 \]

Теперь найдем площадь, ограниченную ограниченной областью от \( x = -2 \) до \( x = 4 \):

Площадь будет равна: \[ \int_{-2}^{4} ((-8x - 7) - (3x^2 + 4x + 5))\,dx + \int_{4}^{-2} ((3x^2 + 4x + 5) - (28x - 43))\,dx \]

Однако, обе касательные уже пересекают параболу только раз, поэтому ищем площадь между ними.

Финальная площадь: \[ \text{Площадь} = \int_{-2}^{4} ((28x - 43) - (-8x - 7))\,dx = \int_{-2}^{4} (36x - 36)\,dx = \left[ 18x^2 - 36x \right]_{-2}^{4} \]

Теперь подставляем границы интегрирования:

При \( x = 4 \): \[ = 18(4^2) - 36(4) = 288 - 144 = 144 \]

При \( x = -2 \): \[ = 18(-2)^2 - 36(-2) = 72 + 72 = 144 \]

Таким образом, площадь будет равна: \[ 144 - 144 = 0 \] Нет, мы ошиблись, давайте помедленней:
Площадь между двумя линиями считаем так: \[ = \int_{-2}^{4} (28x-43 + 8x + 7) \,dx = 36 \times (4 - (-2)) = 36 \times 6 = 216 \]

Ответ: 216.