Найди площадь фигуры, ограниченной параболой y=3x2+4x+5 и касательными, проведёнными к точкам с абсциссами x=−2 и x=4 данной параболы. Запиши в поле ответа верное число.

Для нахождения площади фигуры, ограниченной параболой \( y = 3x^2 + 4x + 5 \) и касательными, проведёнными к точкам с абсциссами \( x = -2 \) и \( x = 4 \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти значения функции в указанных точках: \[ y(-2) = 3(-2)^2 + 4(-2) + 5 = 3 \cdot 4 - 8 + 5 = 12 - 8 + 5 = 9 \] \[ y(4) = 3(4)^2 + 4(4) + 5 = 3 \cdot 16 + 16 + 5 = 48 + 16 + 5 = 69 \]

2. Найти производную функции: \[ y' = 6x + 4 \]

3. Найти угловые коэффициенты касательных:

   • В точке \( x = -2 \): \[ y'(-2) = 6(-2) + 4 = -12 + 4 = -8 \]
   • В точке \( x = 4 \): \[ y'(4) = 6(4) + 4 = 24 + 4 = 28 \]

4. Записать уравнения касательных:

   • Касательная в \( x = -2 \): \[ y - 9 = -8(x + 2) \quad \Rightarrow \quad y = -8x - 16 + 9 \quad \Rightarrow \quad y = -8x - 7 \]
   • Касательная в \( x = 4 \): \[ y - 69 = 28(x - 4) \quad \Rightarrow \quad y = 28x - 112 + 69 \quad \Rightarrow \quad y = 28x - 43 \]

5. Найти точки пересечения касательных и параболы:

   • Для первой касательной: \[ 3x^2 + 4x + 5 = -8x - 7 \quad \Rightarrow \quad 3x^2 + 12x + 12 = 0 \quad \Rightarrow \quad x^2 + 4x + 4 = 0 \] Решения: \[ (x + 2)^2 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = -2 \]

   • Для второй касательной: \[ 3x^2 + 4x + 5 = 28x - 43 \quad \Rightarrow \quad 3x^2 - 24x + 48 = 0 \quad \Rightarrow \quad x^2 - 8x + 16 = 0 \] Решения: \[ (x - 4)^2 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 4 \]

6. Найти координаты точек пересечения:

   • \( x = -2 \) дает \( y(-2) = 9 \).
   • \( x = 4 \) дает \( y(4) = 69 \).

7. Вычислить площадь, ограниченную параболой и касательными, используя интеграл: \[ \text{Площадь} = \int_{-2}^{4} ((28x - 43) - (3x^2 + 4x + 5)) \, dx \] Параметризуем интеграл: \[ \int_{-2}^{4} (28x - 43 - 3x^2 - 4x - 5) \, dx = \int_{-2}^{4} (-3x^2 + 24x - 48) \, dx \]

   Принимаем интеграл: \[ = \left[ -x^3 + 12x^2 - 48x \right]_{-2}^{4} \]

   Подставляем пределы: \[ \left( -4^3 + 12 \cdot 4^2 - 48 \cdot 4 \right) - \left( -(-2)^3 + 12 \cdot (-2)^2 - 48 \cdot (-2) \right) \] \[ = \left( -64 + 192 - 192 \right) - \left( 8 + 48 + 96 \right) \] \[ = (-64) - (152) = -64 - 152 = -216 \] Площадь: \[ \text{Площадь} = 216 \]

Ответ: 216.