Log1/3(корень из 3 в степени 4 *3) с одз

Чтобы решить логарифм \( \log_{\frac{1}{3}}(\sqrt{3}^4 \cdot 3) \), начнем с упрощения выражения внутри логарифма:

1. Выражаем \( \sqrt{3}^4 \): \[ \sqrt{3}^4 = (3^{1/2})^4 = 3^{4/2} = 3^2 = 9. \]

2. Теперь подставляем это значение обратно в логарифм: \[ \log_{\frac{1}{3}}(9 \cdot 3). \] Упрощаем выражение: \[ 9 \cdot 3 = 27. \] Таким образом, теперь у нас есть: \[ \log_{\frac{1}{3}}(27). \]

3. Далее, мы можем записать 27 как 3 в степени 3: \[ 27 = 3^3. \] Это означает, что у нас получается: \[ \log_{\frac{1}{3}}(3^3). \]

4. Используя свойства логарифмов, можем вынести степень за скобки: \[ \log_{\frac{1}{3}}(3^3) = 3 \cdot \log_{\frac{1}{3}}(3). \]

5. Теперь вычисляем \(\log_{\frac{1}{3}}(3)\). Зная, что \(\frac{1}{3} = 3^{-1}\), можем записать: \[ \log_{\frac{1}{3}}(3) = \log_{3^{-1}}(3). \] По свойству логарифмов: \[ \log_{a^{-1}}(b) = -\log_a(b). \] Таким образом, имеем: \[ \log_{\frac{1}{3}}(3) = -\log_3(3) = -1. \]

6. Подставляем это значение обратно в наше выражение: \[ 3 \cdot \log_{\frac{1}{3}}(3) = 3 \cdot (-1) = -3. \]

Теперь, что касается области определения (ОДЗ). Логарифм определен только для положительных аргументов: \[ \sqrt{3}^4 \cdot 3 > 0, \] что верно, так как оба множителя положительны. Таким образом, область определения здесь соблюдена.

В конечном итоге, ответ: \[ \log_{\frac{1}{3}}(\sqrt{3}^4 \cdot 3) = -3. \]