Даны векторы а{3; -2}, { -1; 1}, {6; - 2}. Найдите разложение вектора m=a+b-c 2 по векторам а и б. Запишите ход решения и ответ

Давайте решим задачу по разложению вектора \( m = a + b - 2c \) по векторам \( a \) и \( b \).

Даны векторы:

\[ a = \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \end{pmatrix}, \quad b = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix}, \quad c = \begin{pmatrix} 6 \\ -2 \end{pmatrix} \]

Сначала найдем вектор \( m \):

\[ m = a + b - 2c \]

Подставим значения векторов:

\[ m = \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix} - 2 \begin{pmatrix} 6 \\ -2 \end{pmatrix} \]

Теперь вычислим \( 2c \):

\[ 2c = 2 \begin{pmatrix} 6 \\ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 12 \\ -4 \end{pmatrix} \]

Подставляем \( 2c \) обратно в выражение для \( m \):

\[ m = \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 12 \\ -4 \end{pmatrix} \]

Теперь сложим \( a \) и \( b \):

\[ \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 - 1 \\ -2 + 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix} \]

И теперь вычтем \( 2c \):

\[ m = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 12 \\ -4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 - 12 \\ -1 + 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -10 \\ 3 \end{pmatrix} \]

Таким образом, получаем вектор \( m \):

\[ m = \begin{pmatrix} -10 \\ 3 \end{pmatrix} \]

Теперь нужно разложить вектор \( m \) по векторам \( a \) и \( b \). Мы предполагаем, что мы можем представить \( m \) в виде:

\[ m = k_1 a + k_2 b \]

где \( k_1 \) и \( k_2 \) — неизвестные коэффициенты. Подставим векторы \( a \) и \( b \):

\[ \begin{pmatrix} -10 \\ 3 \end{pmatrix} = k_1 \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \end{pmatrix} + k_2 \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix} \]

Запишем систему уравнений по компонентам:

1. \( 3k_1 - k_2 = -10 \)
2. \( -2k_1 + k_2 = 3 \)

Решим эту систему. Из первого уравнения выразим \( k_2 \):

\[ k_2 = 3k_1 + 10 \]

Подставим \( k_2 \) во второе уравнение:

\[ -2k_1 + (3k_1 + 10) = 3 \]

Упростим уравнение:

\[ k_1 + 10 = 3 \]

\[ k_1 = 3 - 10 = -7 \]

Теперь подставим значение \( k_1 \) обратно в выражение для \( k_2 \):

\[ k_2 = 3(-7) + 10 = -21 + 10 = -11 \]

Таким образом, мы нашли коэффициенты:

\[ k_1 = -7, \quad k_2 = -11 \]

Итак, разложение вектора \( m \) по векторам \( a \) и \( b \) выглядит следующим образом:

\[ m = -7a - 11b \]

Ответ: разложение вектора \( m \) по векторам \( a \) и \( b \) имеет вид:

\[ m = -7a - 11b \]