Найдите угол между векторами а=(6;-2) и b=(9;-12).

Чтобы найти угол между векторами \(\mathbf{a} = (6, -2)\) и \(\mathbf{b} = (9, -12)\), можно воспользоваться формулой для вычисления угла \(\theta\) между двумя векторами. Формула выглядит следующим образом:

\[ \cos(\theta) = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{a}| \cdot |\mathbf{b}|} \]

где \(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}\) — скалярное произведение векторов, а \(|\mathbf{a}|\) и \(|\mathbf{b}|\) — длины (модули) векторов.

1. Найдем скалярное произведение:

\[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1b_1 + a_2b_2 = 6 \cdot 9 + (-2) \cdot (-12) = 54 + 24 = 78 \]

2. Найдем длины векторов:

\[ |\mathbf{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2} = \sqrt{6^2 + (-2)^2} = \sqrt{36 + 4} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10} \]

\[ |\mathbf{b}| = \sqrt{b_1^2 + b_2^2} = \sqrt{9^2 + (-12)^2} = \sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15 \]

3. Подставим найденные значения в формулу для косинуса угла:

\[ \cos(\theta) = \frac{78}{(2\sqrt{10}) \cdot 15} = \frac{78}{30\sqrt{10}} = \frac{13}{5\sqrt{10}} \]

4. Теперь найдем угол \(\theta\):

\[ \theta = \arccos\left(\frac{13}{5\sqrt{10}}\right) \]

5. Приблизительное значение:

Для вычисления угла в градусах можно использовать калькулятор:

\[ \theta \approx \arccos(0.259) \approx 75.74^\circ \]

Таким образом, угол между векторами \(\mathbf{a}\) и \(\mathbf{b}\) составляет примерно \(75.74^\circ\).