Приведите пример приведённого квадратного трёхчлена с рациональными коэффициентами корнем которого я является число 2+√3 а) коэффициент при х равен? б) свободный член равен
Чтобы найти квадратный трёхчлен с рациональными коэффициентами, у которого корнем является число \( x_1 = 2 + \sqrt{3} \), нам нужно определить второй корень. Согласно теореме о корнях, если один из корней имеет иррациональную часть с корнем, то комплексно-сопряжённый корень должен быть его сопряжённым числом, которым в данном случае будет \( x_2 = 2 - \sqrt{3} \).
Теперь мы можем записать квадратный трёхчлен в виде:
\[ f(x) = (x - x_1)(x - x_2) = (x - (2 + \sqrt{3}))(x - (2 - \sqrt{3})) \]
Раскроем скобки:
\[ f(x) = (x - 2 - \sqrt{3})(x - 2 + \sqrt{3}) \]
Это можно упростить, используя формулу разности квадратов:
\[ f(x) = (x - 2)^2 - (\sqrt{3})^2 \]
Теперь вычислим выражение:
\[ f(x) = (x - 2)^2 - 3 \]
Раскроем скобки:
\[ f(x) = (x^2 - 4x + 4) - 3 \] \[ f(x) = x^2 - 4x + 1 \]
Теперь мы можем определить коэффициенты:
а) Коэффициент при \( x \) равен \( -4 \).
б) Свободный член равен \( 1 \).
Таким образом, квадратный трёхчлен с заданным корнем выглядит как \( x^2 - 4x + 1 \).
