При каких значениях многочлен x^4 + ax^3 - bx^2 + 3x - 9 делится на (x+3)^2 без остатка.

Чтобы многочлен \( P(x) = x^4 + ax^3 - bx^2 + 3x - 9 \) делился на \( (x+3)^2 \) без остатка, необходимо, чтобы \( P(-3) = 0 \) и \( P'(-3) = 0 \), где \( P' \) — производная многочлена \( P(x) \).

1. Сначала найдем \( P(-3) \):

\[ P(-3) = (-3)^4 + a(-3)^3 - b(-3)^2 + 3(-3) - 9 \] \[ = 81 - 27a - 9b - 9 - 9 \] \[ = 81 - 27a - 9b - 27 \] \[ = 54 - 27a - 9b \]

Для равенства \( P(-3) = 0 \) получаем уравнение:

\[ 54 - 27a - 9b = 0 \]

2. Теперь найдем производную \( P'(x) \):

\[ P'(x) = 4x^3 + 3ax^2 - 2bx + 3 \]

Теперь подставим \( x = -3 \):

\[ P'(-3) = 4(-3)^3 + 3a(-3)^2 - 2b(-3) + 3 \] \[ = 4(-27) + 3a(9) + 6b + 3 \] \[ = -108 + 27a + 6b + 3 \] \[ = -105 + 27a + 6b \]

Для равенства \( P'(-3) = 0 \) получаем еще одно уравнение:

\[ -105 + 27a + 6b = 0 \]

Теперь у нас есть система уравнений:

1. \( 54 - 27a - 9b = 0 \)
2. \( -105 + 27a + 6b = 0 \)

Решим эту систему уравнений. Первое уравнение можно переписать как:

\[ 27a + 9b = 54 \quad \text{(1)} \] \[ 27a + 6b = 105 \quad \text{(2)} \]

Теперь вычтем (2) из (1):

\[ (27a + 9b) - (27a + 6b) = 54 - 105 \] \[ 3b = -51 \] \[ b = -17 \]

Теперь подставим значение \( b \) в (1):

\[ 27a + 9(-17) = 54 \] \[ 27a - 153 = 54 \] \[ 27a = 207 \] \[ a = \frac{207}{27} = 7.6667 \text{ или } \frac{23}{3} \]

Таким образом, значения \( a \) и \( b \) таковы:

\[ a = \frac{23}{3}, \quad b = -17 \]