Число делится на 7 , но при делении на 2,3,4,5,6 даёт остаток 1. Какой есть наименьшее число?

Чтобы найти наименьшее число, которое делится на 7 и при делении на 2, 3, 4, 5 и 6 дает остаток 1, начнем с условий задачи.

1. Пусть искомое число обозначим как \( x \).
2. Из условия мы знаем, что:
   • \( x \mod 7 = 0 \) (число делится на 7)
   • \( x \mod 2 = 1 \)
   • \( x \mod 3 = 1 \)
   • \( x \mod 4 = 1 \)
   • \( x \mod 5 = 1 \)
   • \( x \mod 6 = 1 \)

Из последних пяти условий видно, что \( x - 1 \) должно делиться на 2, 3, 4, 5 и 6. Чтобы найти общее кратное, найдем наименьшее общее кратное (НОК) этих чисел.

1. НОК(2, 3, 4, 5, 6).
   • Разложим каждое число на простые множители:
     • \( 2 = 2 \)
     • \( 3 = 3 \)
     • \( 4 = 2^2 \)
     • \( 5 = 5 \)
     • \( 6 = 2 \cdot 3 \)

Возьмем максимальные степени простых чисел:

• 2 - максимальная степень: \( 2^2 \)
• 3 - максимальная степень: \( 3^1 \)
• 5 - максимальная степень: \( 5^1 \)

Таким образом, \[ \text{НОК}(2, 3, 4, 5, 6) = 2^2 \cdot 3^1 \cdot 5^1 = 4 \cdot 3 \cdot 5 = 60. \]

Это означает, что \( x - 1 = 60k \) для некоторого целого числа \( k \). Следовательно, \( x = 60k + 1 \).

Теперь подставим \( x \) в первое условие: \[ 60k + 1 \mod 7 = 0. \] Это можно переписать как: \[ 60k + 1 \equiv 0 \mod 7. \] Сначала найдем \( 60 \mod 7 \): \[ 60 \div 7 = 8 \text{ (остаток 4)}, \text{ значит } 60 \equiv 4 \mod 7. \]

Теперь у нас имеется уравнение: \[ 4k + 1 \equiv 0 \mod 7 \implies 4k \equiv -1 \mod 7 \implies 4k \equiv 6 \mod 7. \] Теперь умножим обе стороны на 2, чтобы найти \( k \): \[ 8k \equiv 12 \mod 7 \implies k \equiv 5 \mod 7. \] Таким образом, \( k = 7m + 5 \) для некоторого целого числа \( m \).

Теперь подставим \( k \) обратно в формулу для \( x \): \[ x = 60(7m + 5) + 1 = 420m + 300 + 1 = 420m + 301. \]

Для наименьшего \( m = 0 \): \[ x = 301. \]

Итак, наименьшее число, которое делится на 7 и при делении на 2, 3, 4, 5 и 6 дает остаток 1, равно 301.