Составить уравнение плоскости А(-3;-2;2) В(-1;-3;1) С(-2;0;1)

Чтобы составить уравнение плоскости по трем точкам \(A(-3, -2, 2)\), \(B(-1, -3, 1)\) и \(C(-2, 0, 1)\), нам нужно выполнить несколько шагов.

1. Найти векторы. Сначала составим два вектора, которые будут лежать в плоскости. Для этого мы можем использовать точки \(A\), \(B\) и \(C\):

   Вектор \( \vec{AB} = B - A = (-1 - (-3), -3 - (-2), 1 - 2) = (2, -1, -1) \)

   Вектор \( \vec{AC} = C - A = (-2 - (-3), 0 - (-2), 1 - 2) = (1, 2, -1) \)

2. Найти векторное произведение. Теперь мы найдём векторное произведение \( \vec{AB} \) и \( \vec{AC} \). Это даст нам нормальный вектор плоскости \( \vec{n} \):

   \[ \vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & -1 & -1 \\ 1 & 2 & -1 \end{vmatrix} \]

   Вычисляем определитель:

   \[ \vec{n} = \hat{i}((-1) \cdot (-1) - (-1) \cdot 2) - \hat{j}(2 \cdot (-1) - (-1) \cdot 1) + \hat{k}(2 \cdot 2 - (-1) \cdot 1) \]

   \[ = \hat{i}(1 + 2) - \hat{j}(-2 + 1) + \hat{k}(4 + 1) = 3\hat{i} + 1\hat{j} + 5\hat{k} \]

   То есть \( \vec{n} = (3, 1, 5) \).

3. Составить уравнение плоскости. Уравнение плоскости имеет вид:

   \[ n_1 (x - x_0) + n_2 (y - y_0) + n_3 (z - z_0) = 0, \]

   где \( (n_1, n_2, n_3) \) — компоненты нормального вектора, а \( (x_0, y_0, z_0) \) — координаты любой из трех точек. Используем точку \( A(-3, -2, 2) \):

   \[ 3(x + 3) + 1(y + 2) + 5(z - 2) = 0. \]

   Упростим уравнение:

   \[ 3x + 9 + y + 2 + 5z - 10 = 0 \]

   \[ 3x + y + 5z + 1 = 0. \]

Таким образом, уравнение плоскости, проходящей через точки \(A\), \(B\) и \(C\), имеет вид:

\[ 3x + y + 5z + 1 = 0. \]