f(x) = 1 + 2x² - x⁴, [-1, 2]
Чтобы проанализировать функцию \( f(x) = 1 + 2x^2 - x^4 \) на интервале \([-1, 2]\), мы можем выполнить несколько шагов, включая нахождение критических точек и исследование поведения функции на заданном отрезке.
Нахождение производной функции:
Сначала находим производную \( f'(x) \): \[ f'(x) = \frac{d}{dx}(1 + 2x^2 - x^4) = 4x^3 - 4x. \] Упрощаем: \[ f'(x) = 4x(x^2 - 1) = 4x(x - 1)(x + 1). \]Нахождение критических точек:
Устанавливаем производную равной нулю: \[ 4x(x - 1)(x + 1) = 0. \] Отсюда мы находим критические точки: \[ x = 0, \quad x = 1, \quad x = -1. \]Исследование функции на интервале \([-1, 2]\):
Теперь нам нужно посчитать значения функции в критических точках и на границах интервала:- \( f(-1) = 1 + 2(-1)^2 - (-1)^4 = 1 + 2 - 1 = 2 \)
- \( f(0) = 1 + 2(0)^2 - (0)^4 = 1 + 0 - 0 = 1 \)
- \( f(1) = 1 + 2(1)^2 - (1)^4 = 1 + 2 - 1 = 2 \)
- \( f(2) = 1 + 2(2)^2 - (2)^4 = 1 + 8 - 16 = -7 \)
Сравнение значений:
Теперь сравниваем полученные значения:- \( f(-1) = 2 \)
- \( f(0) = 1 \)
- \( f(1) = 2 \)
- \( f(2) = -7 \)
Определение экстремумов:
На основании найденных значений, максимальное значение функции на отрезке \([-1, 2]\) равно 2 (достигается в точках \( x = -1 \) и \( x = 1 \)), а минимальное значение равно -7 (достигается в точке \( x = 2 \)).
Итак, в пределах интервала \([-1, 2]\), функция \( f(x) \) имеет максимумы на значениях 2 и минимум на значении -7.
