Прямая, параллельная стороне 𝐴𝐶 треугольника 𝐴𝐵𝐶, пересекает стороны 𝐴𝐵и 𝐵𝐶 в точках 𝑀 и 𝑁 соответственно. Найдите 𝐵𝑁, если 𝑀𝑁 = 20, 𝐴𝐶 = 35,𝑁𝐶 = 39.

Для решения задачи воспользуемся подобием треугольников. Из условия известно, что прямая, параллельная стороне \( AC \) треугольника \( ABC \), пересекает стороны \( AB \) и \( BC \) в точках \( M \) и \( N \). В результате образуются подобные треугольники \( ABM \) и \( ABC \), а также \( BNC \) и \( ABC \).

По теореме о соотношении отрезков, если \( MN \) // \( AC \), то:

\[ \frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} \quad \text{и} \quad \frac{BN}{BC} = \frac{CN}{AC} \]

Также из условия знаем, что \( MN = 20 \), \( AC = 35 \) и \( NC = 39 \).

Теперь определим длину отрезка \( BC \):

\[ BC = BN + NC \]

Пусть \( BN = x \). Тогда:

\[ BC = x + 39 \]

Согласно свойству подобия, мы можем записать следующие пропорции:

\[ \frac{MN}{AC} = \frac{BN}{BC} \]

Подставим известные значения:

\[ \frac{20}{35} = \frac{x}{x + 39} \]

Теперь решим это уравнение. Умножим обе стороны на \( 35(x + 39) \):

\[ 20(x + 39) = 35x \]

Раскроем скобки:

\[ 20x + 780 = 35x \]

Переносим \( 20x \) на правую сторону:

\[ 780 = 35x - 20x \]

Упрощаем:

\[ 780 = 15x \]

Делим обе стороны на 15:

\[ x = \frac{780}{15} = 52 \]

Таким образом, длина отрезка \( BN \) равна 52.

Ответ: \( BN = 52 \).