в плоскости ХУ найдите точку Д ( Х;У;0), равноудалённую от трех данных точек А( 0;2;1),В(-2;0;1),С(0;-3;0)
Чтобы найти точку D (X, Y, 0), которая равноудалённая от трёх заданных точек A(0, 2, 1), B(-2, 0, 1) и C(0, -3, 0), необходимо использовать условие равенства расстояний.
Для начала вычислим расстояние от точки D до каждой из трёх точек A, B и C.
Расстояние между двумя точками в трехмерном пространстве (X1, Y1, Z1) и (X2, Y2, Z2) можно вычислить по формуле: \[ d = \sqrt{(X2-X1)^2 + (Y2-Y1)^2 + (Z2-Z1)^2} \]
Расстояние от D до A: \[ d_{DA} = \sqrt{(X - 0)^2 + (Y - 2)^2 + (0 - 1)^2} = \sqrt{X^2 + (Y - 2)^2 + 1} \]
Расстояние от D до B: \[ d_{DB} = \sqrt{(X - (-2))^2 + (Y - 0)^2 + (0 - 1)^2} = \sqrt{(X + 2)^2 + Y^2 + 1} \]
Расстояние от D до C: \[ d_{DC} = \sqrt{(X - 0)^2 + (Y - (-3))^2 + (0 - 0)^2} = \sqrt{X^2 + (Y + 3)^2} \]
Теперь, поскольку точка D равноудалённая от всех трёх точек, установим равенство для расстояний. Сначала сравним расстояния D до A и D до B: \[ \sqrt{X^2 + (Y - 2)^2 + 1} = \sqrt{(X + 2)^2 + Y^2 + 1} \] Квадратируем обе стороны, чтобы избавиться от корней: \[ X^2 + (Y - 2)^2 + 1 = (X + 2)^2 + Y^2 + 1 \] Упрощаем: \[ X^2 + (Y^2 - 4Y + 4) = (X^2 + 4X + 4 + Y^2) \] Сокращаем \(X^2\) и \(Y^2\): \[ -4Y + 4 = 4X + 4 \] Переместим все на одну сторону: \[ 4X + 4Y = 0 \quad \Rightarrow \quad Y = -X \]
Теперь подставим \(Y = -X\) в уравнение с расстоянием до C: \[ \sqrt{X^2 + (-X + 3)^2} = \sqrt{(X + 2)^2 + (-X)^2 + 1} \] Квадратим обе стороны: \[ X^2 + (-X + 3)^2 = (X + 2)^2 + X^2 + 1 \] Упрощаем: \[ X^2 + (X^2 - 6X + 9) = (X^2 + 4X + 4) + X^2 + 1 \] Сокращаем: \[ 2X^2 - 6X + 9 = 2X^2 + 4X + 5 \] Перемещаем все на одну сторону: \[ -6X + 4X + 9 - 5 = 0 \quad \Rightarrow \quad -2X + 4 = 0 \quad \Rightarrow \quad 2X = 4 \quad \Rightarrow \quad X = 2 \] Теперь подставим \(X = 2\) в уравнение \(Y = -X\): \[ Y = -2 \]
Таким образом, координаты точки D составляют: \[ D(2, -2, 0) \]
Эта точка является равноудалённой от трёх заданных точек A, B и C.
