{ x² - x - 6 ≥ 0 { x² - 4x < 0

Давайте решим систему неравенств, которую вы привели:

1. Первое неравенство: \( x^2 - x - 6 \geq 0 \)

Начнем с того, что можем разложить квадратное уравнение. Найдем корни уравнения \( x^2 - x - 6 = 0 \) с помощью формулы корней: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] где \( a = 1 \), \( b = -1 \), \( c = -6 \).

Подставим значения: \[ x = \frac{1 \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6)}}{2 \cdot 1} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2} = \frac{1 \pm 5}{2} \] Это даёт два корня: \[ x_1 = \frac{6}{2} = 3 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-4}{2} = -2 \]

Теперь у нас есть корни \( x_1 = 3 \) и \( x_2 = -2 \). Чтобы решить неравенство \( x^2 - x - 6 \geq 0 \), выясним знак функции в интервалах, определяемых этими корнями:

• Интервал \( (-\infty, -2) \)
• Интервал \( (-2, 3) \)
• Интервал \( (3, \infty) \)

На каждом из этих интервалов подставим произвольные точки:

• Для \( x = -3 \) (в первом интервале): \((-3)^2 - (-3) - 6 = 9 + 3 - 6 = 6 \geq 0\) (истина)

• Для \( x = 0 \) (во втором интервале): \(0^2 - 0 - 6 = -6 < 0\) (ложь)

• Для \( x = 4 \) (в третьем интервале): \(4^2 - 4 - 6 = 16 - 4 - 6 = 6 \geq 0\) (истина)

Таким образом, решение первого неравенства: \[ x \in (-\infty, -2] \cup [3, \infty) \]

2. Второе неравенство: \( x^2 - 4x < 0 \)

Раскроем это неравенство: \( x^2 - 4x = x(x - 4) < 0 \)

Чтобы найти корни, приравняем выражение к нулю: \[ x(x - 4) = 0 \Rightarrow x = 0 \quad \text{или} \quad x = 4 \]

Рассмотрим знаки произведения \( x(x - 4) \) на интервалах:

• Для интервала \( (-\infty, 0) \) (например, \( x = -1 \)): \((-1)(-1 - 4) = -1 \cdot -5 > 0\) (ложь)

• Для интервала \( (0, 4) \) (например, \( x = 2 \)): \(2(2 - 4) = 2 \cdot -2 < 0\) (истина)

• Для интервала \( (4, \infty) \) (например, \( x = 5 \)): \(5(5 - 4) = 5 \cdot 1 > 0\) (ложь)

Таким образом, решение второго неравенства: \[ x \in (0, 4) \]

3. Объединение решений: Теперь мы хотим найти пересечение двух решений:

• Первое неравенство: \( x \in (-\infty, -2] \cup [3, \infty) \)
• Второе неравенство: \( x \in (0, 4) \)

Пересечения не происходит в первом интервале, но во втором: \[ x \in [3, 4) \]

Итак, окончательное решение системы неравенств: \[ x \in [3, 4) \]

Если у вас останутся вопросы или нужно объяснение по другим темам, пожалуйста, дайте знать!