Вычислите площадь плоских фигур с помощью определенного интеграла. y=6-2x y=6+x-x²

Чтобы вычислить площадь, ограниченную плоскими фигурами, заданными уравнениями \(y = 6 - 2x\) и \(y = 6 + x - x^2\), сначала необходимо найти точки пересечения этих двух функций. Это делается путем приравнивания их друг к другу:

\[ 6 - 2x = 6 + x - x^2. \]

Упростим уравнение:

\[ -2x = x - x^2, \] \[ -x^2 + 3x = 0. \]

Теперь факторизуем:

\[ x(-x + 3) = 0. \]

Таким образом, получаем два корня: \(x = 0\) и \(x = 3\).

Теперь, чтобы вычислить площадь, находим интеграл разности функций между найденными границами \(x = 0\) и \(x = 3\):

\[ A = \int_{0}^{3} ((6 + x - x^2) - (6 - 2x)) \, dx. \]

Упрощаем выражение под интегралом:

\[ A = \int_{0}^{3} (6 + x - x^2 - 6 + 2x) \, dx = \int_{0}^{3} (3x - x^2) \, dx. \]

Теперь вычислим интеграл:

\[ A = \left[ \frac{3x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{3}. \]

Подставляем пределы:

\[ A = \left( \frac{3(3)^2}{2} - \frac{(3)^3}{3} \right) - \left( \frac{3(0)^2}{2} - \frac{(0)^3}{3} \right). \] \[ A = \left( \frac{27}{2} - 9 \right) - 0. \] \[ A = \frac{27}{2} - \frac{18}{2} = \frac{9}{2}. \]

Таким образом, площадь, ограниченная этими двумя функциями, равна \(\frac{9}{2}\) или \(4.5\) квадратных единиц. Если у вас есть какие-либо дополнительные вопросы или нужна помощь с другими задачами, не стесняйтесь спрашивать!