найдите площадь фигуры, ограниченной графиком y=x^3 и прямыми y=8, x=1

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной графиком \( y = x^3 \) и прямыми \( y = 8 \) и \( x = 1 \), следует воспользоваться интегрированием.

1. Определим точки пересечения. Мы знаем, что одна из прямых - это \( y = 8 \). Найдём, при каких значениях \( x \) график \( y = x^3 \) равен 8: \[ x^3 = 8 \implies x = 2. \] Таким образом, у нас есть две вертикальные линии: \( x = 1 \) и \( x = 2 \).

2. Найдём площадь, заданную интегралом. Площадь фигуры можно найти, вычислив определённый интеграл от разности верхней функции \( y = 8 \) и нижней функции \( y = x^3 \) на интервале от 1 до 2: \[ S = \int_{1}^{2} (8 - x^3) \, dx. \]

3. Вычислим интеграл. Вычислим сначала интеграл \( \int (8 - x^3) \, dx \): \[ \int (8 - x^3) \, dx = 8x - \frac{x^4}{4} + C. \] Теперь подставим границы интегрирования: \[ S = \left[ 8x - \frac{x^4}{4} \right]_{1}^{2}. \]

4. Подставляем пределы. Вставляем верхний предел \( x = 2 \): \[ S(2) = 8 \cdot 2 - \frac{2^4}{4} = 16 - 4 = 12. \] Теперь вставим нижний предел \( x = 1 \): \[ S(1) = 8 \cdot 1 - \frac{1^4}{4} = 8 - \frac{1}{4} = 8 - 0.25 = 7.75. \]

5. Вычислим площадь. Теперь найдём площадь, вычитая результаты: \[ S = S(2) - S(1) = 12 - 7.75 = 4.25. \]

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной заданными графиками, равна \( 4.25 \).