Боковая поверхность правильной четырехугольной призмы равно 30 м², а полная поверхность 48 м², найти высоту призмы.
Чтобы найти высоту правильной четырехугольной призмы, начнем с того, что обозначим следующие параметры:
- Площадь боковой поверхности (Sб) призмы составляет 30 м².
- Полная площадь поверхности (Sп) составляет 48 м².
Боковая поверхность правильной призмы вычисляется по формуле: \[ S_{б} = P_{осн} \cdot h \] где \( P_{осн} \) — периметр основания призмы, а \( h \) — высота призмы.
Полная поверхность призмы включает площадь боковой поверхности и площади оснований. Для правильной четырехугольной призмы (основание — квадрат) полная площадь поверхности выражается так: \[ S_{п} = S_{б} + 2 \cdot S_{осн} \] где \( S_{осн} \) — площадь одного основания.
Площадь одного основания (квадрат) можно выразить через сторону \( a \): \[ S_{осн} = a^2 \] Периметр основания (квадрат) равен: \[ P_{осн} = 4a \]
Теперь из формулы полной поверхности подставим известные величины: \[ 48 = 30 + 2(a^2) \] Отсюда: \[ 2(a^2) = 48 - 30 \] \[ 2a^2 = 18 \] \[ a^2 = 9 \] \[ a = 3 \, \text{м} \]
Теперь подставим это значение в формулу для боковой поверхности: \[ S_{б} = P_{осн} \cdot h = (4a) \cdot h = 4(3)h = 12h \]
Знаем, что: \[ 12h = 30 \] Отсюда: \[ h = \frac{30}{12} \] \[ h = 2.5 \, \text{м} \]
Таким образом, высота правильной четырехугольной призмы составляет 2.5 метра.
