3) сторона основания правильной треугольной пирамиды равно 6 см, двугранный угол при стороне основания равен 30⁰. Найтите площадь полной поверхности пирамиды.
Для нахождения площади полной поверхности правильной треугольной пирамиды, нам нужно учесть площадь основания и площади боковых граней.
- Площадь основания: Основание пирамиды является правильным треугольником. Формула для нахождения площади правильного треугольника с длиной стороны \( a \) выглядит следующим образом:
\[ S_{\text{осн}} = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 \]
Где \( a = 6 \, \text{см} \).
Подставим значение:
\[ S_{\text{осн}} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 6^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 36 = 9\sqrt{3} \, \text{см}^2 \]
- Площадь боковых граней: Каждая из боковых граней является равнобедренным треугольником. У нас есть 3 боковые грани. Для нахождения площади боковой грани, сначала нужно найти высоту бокового треугольника.
Чтобы найти эту высоту, воспользуемся двугранным углом при стороне основания, который равен \( 30^\circ \). Высота бокового треугольника будет равна:
\[ h = \frac{a \cdot \tan(30^\circ)}{2} = \frac{6 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}}{2} = \frac{6}{2\sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3} \, \text{см} \]
Теперь можно найти площадь одной боковой грани:
\[ S_{\text{бок}} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot \sqrt{3} = 3\sqrt{3} \, \text{см}^2 \]
Поскольку у нас 3 боковые грани, общая площадь боковых граней будет:
\[ S_{\text{бок. все}} = 3 \cdot S_{\text{бок}} = 3 \cdot 3\sqrt{3} = 9\sqrt{3} \, \text{см}^2 \]
- Суммируем площади: Теперь можем найти площадь полной поверхности, сложив площади основания и боковых граней:
\[ S_{\text{полная}} = S_{\text{осн}} + S_{\text{бок. все}} = 9\sqrt{3} + 9\sqrt{3} = 18\sqrt{3} \, \text{см}^2 \]
Таким образом, площадь полной поверхности правильной треугольной пирамиды составляет \( 18\sqrt{3} \, \text{см}^2 \).
