3. Четыре исследователя, независимо друг от друга, производят измерение некоторой физической величины. Вероятность того, что исследователь допустит ошибку при считывании показаний…
3. Четыре исследователя, независимо друг от друга, производят измерение некоторой физической величины. Вероятность того, что исследователь допустит ошибку при считывании показаний прибора, равна 0,15. Найти вероятность того, что при однократном измерении ошибка будет допущена: а) всеми исследователями; б) хотя бы одним исследователем; в) только двумя исследователями.
Давайте решим эту задачу шаг за шагом. У нас есть 4 исследователя, и вероятность того, что каждый из них допустит ошибку при считывании показаний, равна \( p = 0,15 \).
Для удобства введем обозначение \( q = 1 - p = 0,85 \) — это вероятность того, что исследователь не допустит ошибку.
Теперь давайте найдем запрашиваемые вероятности.
а) Вероятность того, что все исследователи допустят ошибку.
Вероятность того, что все 4 исследователя допустят ошибку, можно найти по формуле: \[ P(\text{все ошиблись}) = p^4 = (0,15)^4. \] Теперь вычислим: \[ P(\text{все ошиблись}) = 0,15^4 = 0,00050625. \]
б) Вероятность того, что хотя бы один исследователь допустит ошибку.
Чтобы найти вероятность того, что хотя бы один из исследователей допустит ошибку, воспользуемся дополнением: \[ P(\text{хотя бы один ошибся}) = 1 - P(\text{никто не ошибся}). \] Сначала найдем вероятность того, что никто не допустит ошибку: \[ P(\text{никто не ошибся}) = q^4 = (0,85)^4. \] Вычислим: \[ P(\text{никто не ошибся}) = 0,85^4 = 0,52200625. \] Теперь найдем вероятность того, что хотя бы один ошибся: \[ P(\text{хотя бы один ошибся}) = 1 - 0,52200625 = 0,47799375. \]
в) Вероятность того, что только два исследователя допустят ошибку.
Используем биномиальное распределение для расчета этой вероятности: \[ P(X = k) = \binom{n}{k} p^k q^{n-k}, \] где \( n = 4 \) (количество исследователей), \( k = 2 \) (число ошибшихся), \( \binom{n}{k} \) — биномиальный коэффициент.
Таким образом: \[ P(\text{только 2 ошиблись}) = \binom{4}{2} p^2 q^2. \] Сначала найдем биномиальный коэффициент: \[ \binom{4}{2} = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6. \] Теперь подставим в формулу: \[ P(\text{только 2 ошиблись}) = 6 \cdot (0,15)^2 \cdot (0,85)^2. \] Вычислим: \[ P(\text{только 2 ошиблись}) = 6 \cdot 0,0225 \cdot 0,7225 \approx 0,09765625. \]
Таким образом, мы получили следующие результаты:
а) Вероятность, что все исследователи ошиблись: \( P \approx 0,00050625 \).
б) Вероятность, что хотя бы один исследователь ошибся: \( P \approx 0,47799375 \).
в) Вероятность, что только два исследователя ошиблись: \( P \approx 0,09765625 \).
