Даны вершины тетраэдра: A(1; 3; 6), B(2; 2; 1), C(-1; 0; 1), D(-4; 6; -3) Найти длину его высоты, опущенной из вершины D
Для того чтобы найти длину высоты тетраэдра, опущенной из вершины D на основание ABC, необходимо выполнить несколько шагов.
- Найдем уравнение плоскости, заданной тремя точками A, B и C.
Точки A, B и C имеют координаты:
- A(1, 3, 6)
- B(2, 2, 1)
- C(-1, 0, 1)
Сначала найдем векторы AB и AC:
\[ \vec{AB} = B - A = (2 - 1, 2 - 3, 1 - 6) = (1, -1, -5) \] \[ \vec{AC} = C - A = (-1 - 1, 0 - 3, 1 - 6) = (-2, -3, -5) \]
Теперь найдем нормальный вектор к плоскости ABC, используя векторное произведение векторов AB и AC:
\[ \vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC} \]
Рассчитаем компоненты векторного произведения:
\[ \vec{n} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -1 & -5 \\ -2 & -3 & -5 \end{vmatrix} \]
Это определитель можно вычислить по правилу Саррюса или методом разложения:
\[ \vec{n} = \hat{i}((-1)(-5) - (-3)(-5)) - \hat{j}(1 \cdot (-5) - (-2)(-5)) + \hat{k}(1 \cdot (-3) - (-1)(-2)) \] \[ = \hat{i}(5 - 15) - \hat{j}(-5 - 10) + \hat{k}(-3 - 2) \] \[ = \hat{i}(-10) + \hat{j}(15) + \hat{k}(-5) \] \[ = (-10, 15, -5) \]
Таким образом, нормальный вектор к плоскости ABC равен \((-10, 15, -5)\). Уравнение плоскости имеет вид:
\[ -10(x - 1) + 15(y - 3) - 5(z - 6) = 0 \] Раскроем скобки:
\[ -10x + 10 + 15y - 45 - 5z + 30 = 0 \] \[ -10x + 15y - 5z - 5 = 0 \] Упростим:
\[ -10x + 15y - 5z = 5 \]
- Теперь найдём расстояние от точки D до плоскости ABC.
Координаты точки D: D(-4, 6, -3). Для нахождения расстояния от точки до плоскости используем формулу:
\[ d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}} \]
где \(A = -10\), \(B = 15\), \(C = -5\) и \(D = -5\) (из уравнения плоскости).
Подставим координаты D:
\[ d = \frac{|-10 \cdot (-4) + 15 \cdot 6 - 5 \cdot (-3) - 5|}{\sqrt{(-10)^2 + (15)^2 + (-5)^2}} \] \[ = \frac{|40 + 90 + 15 - 5|}{\sqrt{100 + 225 + 25}} \] \[ = \frac{|140|}{\sqrt{350}} = \frac{140}{\sqrt{350}} = \frac{140}{5\sqrt{14}} = \frac{28}{\sqrt{14}} = 2\sqrt{14} \]
Таким образом, длина высоты тетраэдра, опущенной из вершины D на основание ABC, равна \(2\sqrt{14}\).
