Боковая поверхность правильной четырёхугольной пирамиды равна 60, а сторона основания 6. Найти объём
Чтобы найти объём правильной четырёхугольной пирамиды, сначала необходимо найти высоту этой пирамиды. Из условия мы знаем, что боковая поверхность пирамиды равна 60, а сторона основания равна 6.
Вычисляем высоту боковой грани: Поскольку пирамидa правильная, каждая боковая грань является равнобедренным треугольником. Для нахождения высоты боковой грани используем формулу для площади треугольника:
\[ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h \]
где \( S \) – площадь одной боковой грани, \( a \) – основание треугольника (в нашем случае это сторона основания пирамиды), а \( h \) – высота боковой грани.
Площадь боковой поверхности состоит из 4 боковых граней, значит:
\[ 4S = 60 \implies S = 15 \]
Теперь подставим в формулу:
\[ 15 = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot h_{боковая} \]
Отсюда:
\[ 15 = 3h_{боковая} \implies h_{боковая} = 5 \]
Находим высоту пирамиды (h): В правильной четырёхугольной пирамиде высота боковой грани \( h_{боковая} \), высота пирамиды \( h \) и радиус основания (половина стороны квадрата) образуют прямоугольный треугольник. Используем Питагорову теорему:
Параллельные грани базы к высоте боковой грани (где \( \frac{6}{2} = 3 \)):
\[ h_{боковая}^2 = h^2 + 3^2 \]
Подставляем \( h_{боковая} = 5 \):
\[ 5^2 = h^2 + 3^2 \implies 25 = h^2 + 9 \implies h^2 = 16 \implies h = 4 \]
Находим объём пирамиды (V): Формула для объёма правильной пирамиды:
\[ V = \frac{1}{3} \cdot S_{основание} \cdot h \]
Площадь основания (квадрат со стороной 6):
\[ S_{основание} = 6^2 = 36 \]
Теперь подставим все значения:
\[ V = \frac{1}{3} \cdot 36 \cdot 4 = 48 \]
Таким образом, объём правильной четырёхугольной пирамиды равен 48.
