как изменится дисперсия набора 4 6 8 добавить число 140
Чтобы понять, как изменится дисперсия при добавлении числа 140 к набору 4, 6, 8, давайте сначала вспомним, что такое дисперсия.
Дисперсия (D) — это мера разброса значений набора данных. Она рассчитывается по формуле:
\[ D = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} (x_i - \bar{x})^2 \]
где \( \bar{x} \) — среднее значение набора данных, \( N \) — количество элементов в наборе, а \( x_i \) — каждое значение.
- Находим среднее значение для набора 4, 6, 8:
\[ \bar{x} = \frac{4 + 6 + 8}{3} = \frac{18}{3} = 6 \]
- Находим дисперсию для исходного набора:
\( D = \frac{1}{3} \left( (4 - 6)^2 + (6 - 6)^2 + (8 - 6)^2 \right) \)
\[ = \frac{1}{3} \left( (-2)^2 + 0^2 + (2)^2 \right) \] \[ = \frac{1}{3} \left( 4 + 0 + 4 \right) \] \[ = \frac{8}{3} \]
- Теперь добавим число 140 в набор. Новый набор: 4, 6, 8, 140. Находим новое среднее значение:
\[ \bar{x} = \frac{4 + 6 + 8 + 140}{4} = \frac{158}{4} = 39.5 \]
- Новая дисперсия для набора 4, 6, 8, 140:
\[ D = \frac{1}{4} \left( (4 - 39.5)^2 + (6 - 39.5)^2 + (8 - 39.5)^2 + (140 - 39.5)^2 \right) \]
Теперь считаем по каждому элементу:
\[ (4 - 39.5)^2 = (-35.5)^2 = 1260.25 \] \[ (6 - 39.5)^2 = (-33.5)^2 = 1122.25 \] \[ (8 - 39.5)^2 = (-31.5)^2 = 992.25 \] \[ (140 - 39.5)^2 = (100.5)^2 = 10100.25 \]
Теперь суммируем:
\[ 1260.25 + 1122.25 + 992.25 + 10100.25 = 11475 \]
Теперь вычислим дисперсию:
\[ D = \frac{11475}{4} = 2868.75 \]
Таким образом, дисперсия уменьшилась с \( \frac{8}{3} \approx 2.67 \) до \( 2868.75 \) после добавления 140. Это демонстрирует, что добавление значительного выброса (в данном случае 140) увеличивает разброс значений в наборе данных.
