Ребро куба ABCDA1B1C1D1 равно 6. На ребре CC1 отмечена точка М так, что СМ = 5. Через точки М и В1 проведена плоскость а, параллельная диагонали А1С. a) Докажите, что C1N : ND1 = 1 : 4, где N - точка пересечения плоскости с ребром C1D1. б) Найдите угол между плоскостями а и ВСС1.

Для решения задачи начнём с определения координат точек куба ABCDA1B1C1D1.

1. Зададим координаты вершин куба:

• A(0, 0, 0)
• B(6, 0, 0)
• C(6, 6, 0)
• D(0, 6, 0)
• A1(0, 0, 6)
• B1(6, 0, 6)
• C1(6, 6, 6)
• D1(0, 6, 6)

2. Теперь определим координаты точки M, которая лежит на ребре CC1. Поскольку С(6, 6, 0) и С1(6, 6, 6), координаты точки M будут (6, 6, 5), так как CM = 5.

3. Плоскость α проходит через точки M(6, 6, 5) и B1(6, 0, 6). Для нахождения нормали к плоскости α воспользуемся вектором, параллельным диагонали A1C. Вектор A1C: \[ A1C = C - A1 = (6, 6, 0) - (0, 0, 6) = (6, 6, -6). \]

4. Таким образом, направляющий вектор плоскости α: \[ \vec{v1} = B1M = M - B1 = (6, 6, 5) - (6, 0, 6) = (0, 6, -1). \]

5. Для нахождения нормали плоскости используем векторное произведение векторов \((6, 6, -6)\) и \((0, 6, -1)\): \[ \vec{n} = (6, 6, -6) \times (0, 6, -1). \] Вычисляем детерминант: \[ \vec{n} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 6 & 6 & -6 \\ 0 & 6 & -1 \end{vmatrix} = \hat{i} \cdot (6 \cdot (-1) - (-6) \cdot 6) - \hat{j} \cdot (6 \cdot (-1) - 0) + \hat{k} \cdot (36 - 0), \] \[ \Rightarrow \vec{n} = \hat{i}(-6 + 36) - \hat{j}(-6) + \hat{k}(36) = \hat{i}(30) + \hat{j}(6) + \hat{k}(36). \]

6. Уравнение плоскости α: \[ 30(x - 6) + 6(y - 6) + 36(z - 5) = 0. \]

Теперь найдём точку N, где плоскость пересекает ребро C1D1.

1. Ребро C1D1 — это отрезок между точками C1(6, 6, 6) и D1(0, 6, 6). Поскольку y = 6 для этой линии, подставляем в уравнение: \[ 30(x - 6) + 6(6 - 6) + 36(z - 5) = 0 \implies 30(x - 6) + 36(z - 5) = 0. \] Здесь \(z = 6\) (всегда, для D1 и C1).
2. Решив уравнение: \[ 30(x - 6) = -36(6 - 5) \Rightarrow 30(x - 6) = -36 \Rightarrow x - 6 = -\frac{36}{30} \Rightarrow x = 6 - \frac{12}{10} = 6 - 1.2 = 4.8. \] Найден точка N(4.8, 6, 6).

Теперь найдем отрезок C1N и ND1:

• C1N: C1(6, 6, 6) - N(4.8, 6, 6): длина = 1.2.
• ND1: N(4.8, 6, 6) - D1(0, 6, 6): длина = 4.8.

Таким образом, C1N : ND1 = 1.2 : 4.8 = 1 : 4. Соответственно, часть а) доказана.

Теперь найдем угол между плоскостями a и BCC1 (уже имеем нормаль к плоскости a):

1. Для плоскости BCC1:

• Найдем нормальный вектор к плоскости через три точки: B(6, 0, 6), C(6, 6, 0), C1(6, 6, 6). Векторы: \[ \vec{v2} = C - B = (0, 6, -6) \quad \text{и} \quad \vec{v3} = C1 - B = (0, 6, 0). \]

2. Теперь находим нормаль к плоскости BCC1: \[ \vec{n'} = \vec{v2} \times \vec{v3} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 0 & 6 & -6 \\ 0 & 6 & 0 \end{vmatrix} \Rightarrow -\hat{i}(0) + \hat{j}(0) + (0) = (36)\hat{k}. \]

3. Теперь нам нужно найти угол между плоскостями с помощью формулы скалярного произведения нормалей: \[ \cos(\theta) = \frac{\vec{n} \cdot \vec{n'}}{|\vec{n}| |\vec{n'}|}. \] Где |\vec{n}| = √(30² + 6² + 36²), и |\vec{n'}| = 36.

4. Скалярное произведение: \[ \vec{n} \cdot \vec{n'} = \hat{n'} \cdot (30, 6, 36) = 36 * 36 = 1296. \]

5. Подсчитаем длину первого вектора: \[ |\vec{n}| = \sqrt{30^2 + 6^2 + 36^2} = \sqrt{900 + 36 + 1296} = \sqrt{2232} \approx 47.23. \] Теперь можем вычислить угол: \[ \cos(\theta) = \frac{1296}{(47.23)(36)}. \] Угол между плоскостями будет найден как \(\theta = \arccos(\cos(\theta))\).
   Эти шаги дают полный ответ на задачу.